disser1.pdf (2006 KB) - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

4. Grundlagen der Optimalsteuerung
entstehen die Steuerungen u ∗ (t k ) + εv mit u ∗ (t k ) + εv ∈ Ω für v ∈ R m und für
ein genügend kleines ε : 0 ≤ ε ≤ ¯ε. Nur solche Vektoren v kann man verwenden.
Eine notwendige Bedingung für diese Aufgabe lautet in diesem Falle:
∫t k+1
t k
H u (x ∗ (t), u ∗ (t k ), λ(t), t)vdt ≤ 0,
für alle v ∈ R m , für welche u ∗ (t k ) + εv ∈ Ω und für alle k = 0, . . . , N − 1 . Ist Ω
offen oder u ∗ (t k ) ∈ int Ω, so gilt
∫t k+1
t k
H u (x ∗ (t), u ∗ (t k ), λ(t), t)dt = 0.
Auch dieser Satz ist im Allgemeinen nur eine notwendige Bedingung. Sie kann benutzt
werden, um die berechnete Lösung einer Aufgabe auf die Optimalität zu prüfen.
4.2. Existenz der Lösungen
Eine der wichtigsten Fragen der Optimalsteuerungstheorie ist die Existenz der
Lösungen.
Es sei M ⊆ R n abgeschlossen und S(t) ⊆ R n für alle t auch abgeschlossen.
Wir betrachten das Steuerproblem 4.1 mit den zusätzlichen Bedingungen:
x(T ) ∈ M
x(t) ∈ S(t), für alle t ∈ [t 0 , T ). (4.2)
Für die Aufgaben mit messbaren Steuerfunktionen gilt der folgende Satz von Roxin
und Filippov.
Satz 4.2 Gegeben sei das Problem 4.1,4.2. Es seien folgende Bedingungen erfüllt:
a) Die Menge {g(t, x, u), f(t, x, u)|u ∈ Ω} ⊆ R n+1 sei konvex.
b) Der Steuerbereich Ω sei kompakt.
c) Es existiere ein K ∈ R, so dass für alle t ∈ [t 0 , T ], x ∈ S(t), u ∈ Ω die
Ungleichung |(x, f(t, x, u))| ≤ K · (|x| 2 + 1) gilt (dabei bedeutet (·, ·) das
Skalarprodukt).
d) Es existiere mindestens ein zulässiger Prozess.
Dann gibt es auch eine globale (messbare) optimale Lösung.
Wir beachten, dass die Voraussetzungen des Satzes 4.2 in den Modellen mit messbaren
Funktionen, die in der Arbeit betrachtet werden, erfüllt sind. Damit wäre die Existenz
einer optimalen Lösung gesichert.
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