disser1.pdf (2006 KB) - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

4.1. Das Maximumprinzip von Pontrjagin
Satz 4.1 Seien f, g stetig und stetig partiell nach x differenzierbar. Seien x ∗ (·), u ∗ (·)
optimal, dann gibt es eine nichttriviale Lösung der adjungierten Gleichung
˙λ(t) = − ∂
∂x H(x∗ (t), u ∗ (t), λ(t), t), t 0 ≤ t ≤ T , so dass
➣ die Maximumbedingung
H(x ∗ (t), u ∗ (t), λ(t), t) = max
u∈Ω H(x∗ (t), u, λ(t), t), für fast alle t ∈ [t 0 , T ]
➣ und die Transversalitätsbedingung
λ(T ) = − ∂q
∂x (x∗ (T ))
erfüllt sind.
Es gibt eine Reihe von Methoden das Maximumprinzip zu beweisen. Ein klassischer
Weg ist die Verwendung von sogenannten Nadelvariationen. Das bedeutet, es werden
zulässige Steuerungen betrachtet, die von der optimalen Steuerung in einer beliebiger
Weise abweichen, aber nur auf einer endlichen Anzahl von kleinen Zeitintervallen.
Da die Steuerungen stückweise stetig sind, lässt sich diese Transformation ausführen.
Dann wird eine Linearisierung des Problems in einer Umgebung der optimalen
Lösung durchgeführt und es werden konvexe Variationskegel der optimalen und
der gestörten Trajektorien konstruiert. Anschließend wird ein Trennungssatz
von konvexen Kegel angewendet. Die entsprechende Bedingung kann analytisch
geschrieben werden, dieses führt zu dem Ergebnis, dass die optimale Steuerung
u ∗ (t) mit der entsprechnenden Trajektorie das Maximum der Hamiltonfunktion
H(x ∗ (t), u ∗ (t), λ(t), t) für fast alle t liefert. Ein genauerer Beweis für das
Pontrjaginsche Maximumprinzip ist in [33] zu finden. 3
4.1.2. Stückweise konstante Steuerungen
Jetzt betrachten wir Aufgabe (4.1) mit stückweise konstanten Steuerungen. Wir
betrachten eine Folge t 0 , t 1 , . . . , t N = T und gehen davon aus, dass u(t) =
u(t k ) für alle t ∈ [t k , t k+1 ), k = 0, . . . , N − 1 ist. In dem Fall, wenn die
Konstantheitsintervalle vorgegeben sind oder die Länge dieser Intervalle nach unten
beschränkt, gilt das Pontrjaginsche Maximum-Prinzip in der klassischen Form nicht.
Es gibt eine Reihe von Publikationen, die sich mit dieser Aufgabe beschäftigen
und versuchen, notwendige (und manchmal auch hinreichende) Bedingungen zu
formulieren. [35] gibt z.B. einen alternativen Pontrjaginschen Weg, bei dem sich die
Optimalität einer Lösung durch ein Integralkriterium prüfen lässt.
Wir gehen von einer Standard-Formulierung der Hamilton-Funktion aus und setzen
die Existenz der partiellen Ableitungen f u und g u voraus. Bei dieser Aufgabe dürfen
wir keine Nadelvariationen im Sinne von Pontrjagin benutzen. Wir stören die optimale
Steuerung u ∗ (t k ) auf dem ganzen Intervall [t k , t k+1 ), k = 0, . . . , N − 1. Dabei
3 für alle Stetigkeitspunkte von u ∗ (·)
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