disser1.pdf (2006 KB) - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

4. Grundlagen der Optimalsteuerung
unter der Nebenbedingung:
ẋ(t) = f(t, x(t), u(t)), x(t 0 ) = x 0 (4.1)
Eine Steuerung u(·) : [t 0 , T ] → Ω heißt zulässig, wenn die Lösung der
entsprechenden Anfangswertaufgabe mit x(t 0 ) = x 0 (und unter Umständen weiteren
Nebenbedingungen), auf dem gesamten Zeitintervall [t 0 , T ] existiert.
Die Aufgabe der optimalen Steuerung besteht also darin, unter allen zulässigen Paaren
x = x(·) und u = u(·) ein solches mit maximalem Zielfunktionalwert zu bestimmen.
Die optimale Steuerung kann manchmal mittels des Pontrjaginschen
Maximumprinzips (notwendige Bedingungen) oder durch das Lösen der Hamilton-
Jacobi-Bellman-Gleichung ausgerechnet werden.
4.1. Das Maximumprinzip von Pontrjagin
4.1.1. Stückweise stetige Steuerungen
Das klassische Maximumprinzip von Pontrjagin für die Aufgabe (4.1) ist
eine notwendige Optimalitätsbedingung. Eine der ersten Formulierungen des
Maximumprinzips mit dem Beweis gelang dem russischen Mathematiker V. G.
Boltyanskii aus der Arbeitsgruppe von L.Pontryagin und dessen Mitarbeitern R. V.
Gamkrelidze und E. F. Mishchenko. 2
Ungefähr zeitgleich gelang auch Magnus R. Hestenes ein Beweis der Bedingung
(vgl. [11]).
Wir definieren die Hamilton-Funktion R n × R m × R n × [t 0 , T ] → R als:
H(x, u, λ, t) = g(t, x, u) +
λ = (λ 1 , . . . , λ n )
n∑
λ i · f i (t, x, u),
i=1
wobei die Variablen λ i ,
werden.
i = 1, . . . , n als adjungierte (oder Kozustände) bezeichnet
2 Lew Semjonowitsch Pontrjagin (1908-1988), russischer Mathematiker. Er beschäftigte sich mit
zahlreichen mathematischen Gebieten, wie Topologie, Graphentheorie, Differentialgleichungen etc.
Seit den 50er arbeitete er in der Optimierungstheorie. Das Pontrjaginsche Maximumprinzip wurde
als These von Pontrjagin (und seiner Arbeitsgruppe) formuliert, für viele Aufgaben bewiesen
und ist grundlegend für die moderne Theorie der Optimalsteuerungen. Wladimir Grigorjewitsch
Boltjanski (geb. 1925) ist für seine Arbeiten über dynamische Optimierung und Steuerungstheorie
(stetiger und diskreter Prozesse) bekannt. Er bewies darin u.a. das Pontrjaginsche Maximumprinzip
für nichtlineare Prozesse.
50