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KAPITEL IV
Grundlagen der Optimalsteuerung
Historisch entstehen die Optimalsteuerungsprobleme aus den Variationsproblemen. 1
Die Optimalsteuerung hat sich vor allem im Zusammenhang mit der Entwicklung
der Raumfahrt ab 1950 entwickelt. Häufig sollen Vorgänge, die sich mit
Differentialgleichungen formulieren lassen, kontrolliert werden. Dies bedeutet, dass
der Prozess durch eine geeignete Wahl von Kontrollgrößen so gesteuert wird, dass
eine gewisse Größe, etwa die Kosten, der Ertrag oder die Zeit, die der Vorgang
benötigt, optimiert wird. Anwendungen finden sich in der Steuerung von Luft- und
Raumfahrzeugen, in den Wirtschaftsprozessen oder auch in der Populationsdynamik.
Die allgemeine Aufgabe der Optimalsteuerung wird auf folgende Weise definiert:
Gegeben sei ein nichtleerer (häufig konvexer und abgeschlossener) Steuerbereich
Ω ⊂ R m . Zu vorgegeben (hinreichend glatten) Funktionen g, q, f :
q : R n → R
f : R × R m × R n → R n
g : R × R m × R n → R
ist eine stetige und stückweise stetig differenzierbare Funktion x(·) : [t 0 , T ] →
R n (Zustandsfunktion) sowie eine stückweise stetige (oder stückweise konstante)
Funktion u(·) : [t 0 , T ] → Ω ⊂ R m (Steuerfunktion) so zu bestimmen, dass das
Zielfunktional (Bolza-Funktional) maximiert wird:
J(u(·)) =
∫ T
t 0
g (t, x(t), u(t)) dt + q(x(T )) → max
u(·)
1 weitere Quellen sind Optimierung, automatische Regelung; siehe [11], [33]
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