disser1.pdf (2006 KB) - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

3.2. Erweiterte Modelle
mit
{ 1, für x ≥ 0 : Population darf gefangen werden,
H(x) =
0, für x < 0 : Population darf nicht gefangen werden.
Die Lösung dieser Gleichung ist:
⎧
n(0, t − x) · p(x), für x ≤ c, x ≤ t
n(0, t − x) · p(x)e −δ(x−c) , für c < x < t
⎪⎨
n(x, t) =
⎪⎩
p(x)
n(x − t, 0) ·
p(x − t) , für t ≤ x < c
p(x)
n(x − t, 0) ·
p(x − t) e−δ(x−c) , für x ≥ t, x ≥ c, x ≤ t + c
p(x)
n(x − t, 0) ·
p(x − t) e−δt , für x > t + c.
Das bedeutet eine Unterscheidung einer gesamten Population in 5 Gruppen, je nach
Alter:
➣ 1: geborene Spezies seit t = 0, die zu jung sind, um gefischt zu werden,
➣ 2: geborene Spezies seit t = 0, die alt genug sind, um x − c Jahre gefischt zu
werden,
➣ 3: Spezies, die zu t = 0 schon vorhanden waren; zu jung, um gefischt zu werden,
➣ 4: Spezies, die zu t = 0 schon vorhanden waren; alt genug, um x − c Jahre
gefischt zu werden,
➣ 5: Spezies, die zu t = 0 schon vorhanden waren; werden die ganze Zeit gefischt.
Es gibt viele weitere Transformationen des Modells. Von Interesse sind auch diskrete
Altersklassenmodelle (vgl. Leslie). sowie stochastische Modelle, die wir in dieser
Arbeit nicht betrachten.
Es gibt auch andere Modelle, die im Bereich der partiellen Differentialgleichungen
erforscht werden. Einige davon beschreiben die Bewegung der Spezies in ihrem
Areal. Diese Bewegung von Organismen im Raum kann mit Hilfe der Diffusion
beschrieben werden. Die Diffusion wird dabei als Zufallsbewegung (engl. random
walk) von Organismen interpretiert. Solche ökologische Modelle mit partiellen
Differentialgleichungen sind z.B. die
∂n
➣ Kirstead,Slobodkin,Skellam-Modell
∂t = εn + D ∂2 n
∂x 2
∂n
➣ Fischer-Modell
∂t = εn(1 − n K ) + D ∂2 n
∂x 2
∂n
➣ Nagumo-Modell
∂t = n(n − L)(1 − n) + D ∂2 n
∂x . 2 47