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3.2. Erweiterte Modelle
Dabei wurde die Bezeichnung p(x) = e − ∫ x
0 q(s′ )ds ′ verwendet.
Startverteilung n(x, 0) = n 0 (x) (d.h. Anzahl der Spezies im Alter x zum Zeitpunkt
t = 0) entnehmen wir folgender Graphik:
3 x 109
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Abbildung 3.3.: Startverteilung n(x, 0) = n 0 (x).
Im grüner Bereich x < t erhalten wir nun
n(s + v, s) = n(s 0 + v, s 0 ) · e − ∫ s+v
s 0 +v q(s′ )ds ′ ,
wobei s + v = x; s = t; s 0 + v = 0 und s 0 = t − x gilt. Es folgt
n(x, t) = n(0, t − x) · p(x).
An dieser Stelle setzen wir diesen Ausdruck in die Randbedingungen
n(x = 0, t) =
∫ ∞
0
n(x, t)b(x)dx := ñ(t), (3.3)
ein.
Nun wählen wir eine konstante Sterberate q(x) = r d (d.h. p(x) = e −rdx ) und eine
konstante Geburtenrate im Intervall [x 1 , x 2 ]:
{
rb , x ∈ [x
b(x) =
1 ; x 2 ]
0, sonst
Somit lässt sich die Gleichung (3.3) zu
ñ(t) = n(0, t) =
=
∫ x2
∫ ∞
0
n(x, t)b(x)dx =
x 1
ñ(t − x)p(x)b(x)dx =
∫ ∞
0
∫ x2
x 1
n(0, t − x)p(x)b(x)dx
ñ(t − x)r b e −r dx dx.
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