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3. Mathematische Modelle in der Biologie
Mit ∆t → 0 und ∂p (x, 0) = −q(x) erhalten wir daraus die partielle
∂t
Differentialgleichung:
∂ ∂
n(x, t) + n(x, t) + q(x)n(x, t) = 0.
∂t ∂x
Als Randbedingungen nehmen wir
bzw.
n(x = 0, t) =
∫ ∞
n(x, t = 0) = n 0 (x).
0
n(x, t)b(x)dx,
Hier ist n 0 (x) eine gegebene Startverteilung und b(x) die Geburtendichte. Eine
Auswertung der Randbedingungen in diesem Altersklassen-Modell ist in der Regel
nicht einfach. An dieser Stelle müssen wir zwei Fälle unterscheiden: x ≥ t (blauer
Bereich) und x < t (grüner Bereich).
t
Randbedingungen
Anfangsbedingungen
x
Nun wollen wir die von-Foerster-Gleichung im blauen Bereich x ≥ t lösen. Zur
Lösung verwenden wir die Charakteristiken-Methode. Dafür bezeichnen wir v := x−t
und betrachten n(x, t) = n(s + v, s) für ein beliebiges (aber festes v, v ∈ R) und
erhalten als Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung
n(s + v, s) = n(s 0 + v, s 0 ) · e − ∫ s+v
s 0 +v q(s′ )ds ′ .
Im blauen Bereich gilt x ≥ t und s + v = x; s = t; s 0 + v = x − t; s 0 = 0. Daraus
folgt
n(x, t) = n(x − t, 0)e − ∫ x
x−t q(s′ )ds ′ = n 0 (x − t)e − ∫ x
x−t q(s′ )ds ′
∫ x
= n 0 (x − t) e− 0 q(s′ )ds ′
p(x)
= n 0 (x − t)
0 q(s ′ )ds ′ p(x − t) .
e − ∫ x−t
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