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3.2. Erweiterte Modelle
Ökologisch gesehen, wären die Fischfangaktivitäten in Betracht unterschiedlicher
Altersgruppen zu studieren. Dafür entwickelten wir ein etwas komplizierteres Modell,
das drei Altersgruppen umfasst:
➣ junge Spezies, die noch nicht vermehrungsfähig sind (mit Größe s 1 ),
➣ erwachsene Spezies im vermehrungsfähigen Alter (mit Größe s 2 ),
➣ ältere Spezies, die sich nicht mehr vermehren (mit Größe s 3 ).
Das Wachstum für eine Fischart wird dann durch ein Differentialgleichungssystem
beschrieben (siehe [2]):
ṡ 1 (t) = −(a 0 + a 1 ) · s 1 (t) + r · s 2 (t) − z 1 · s 1 (t),
ṡ 2 (t) = a 1 · s 1 (t) − (b 0 + b 1 ) · s 2 (t) − z 2 · s 2 (t),
ṡ 3 (t) = b 1 · s 2 (t) − c 0 · s 3 (t) − z 3 · s 3 (t),
wobei die Koeffizienten Folgendes bedeuten:
a 0 , b 0 , c 0 : Sterberate der Kinder, Erwachsenen, Alten,
a 1 , b 1 : Übergangsrate Kinder zu Erwachsenen bzw. Erwachsene zu Alten,
r: Geburtenrate,
z 1 , z 2 , z 3 : Ausbeutungsraten durch Lotka-Volterra-Verhältnisse.
Die meisten in der Literatur behandelten Modelle der Altersstruktur bieten jedoch
Ansätze mit partiellen Differentialgleichung. Eins solches Modell ist die bekannte
von-Foerster-Gleichung. Die partiellen Differentialgleichungen 1.Ordnung, die in dem
Modell entstehen, lassen sich in der Regel analytisch lösen.
Wir nehmen das Alter als stetig. Sei
n : [0; ∞) × [0; ∞) → [0; ∞)
die Populationsdichte im Alter x zur Zeit t. Die Anzahl der Spezies zur Zeit t im
Altersbereich [x; x + ∆x] berechnen wir als
∫ x+∆x
x
n(¯x, t)d¯x.
Nun können wir die von-Foerster-Gleichung (1959) herleiten. Ein Alterungsprozess
ohne Sterben ist durch die Gleichung n(x, t + ∆t) = n(x − ∆t, t) darstellbar.
Sollten die natürlichen Einflüsse (Sterben) mitwirken, lässt sich diese Gleichung zu
n(x, t + ∆t) = n(x − ∆t, t) · p(x, ∆t) umschreiben, wobei 0 < p(x, ∆t) < 1 eine
Überlebenrate ist.
Die letzte Gleichung schreiben wir um:
n(x, t + ∆t) − n(x, t) = −n(x, t) + n(x − ∆t, t) · p(x, ∆t),
(
)
n(x, t + ∆t) − n(x, t) = −n(x, t) + n(x − ∆t, t) + n(x − ∆t, t) · p(x, ∆t) − 1 ,
(
)
n(x, t + ∆t) − n(x, t) = −n(x, t) + n(x − ∆t, t) + n(x − ∆t, t) · p(x, ∆t) − p(x, 0) ,
n(x, t + ∆t) − n(x, t)
∆t
n(x, t) − n(x − ∆t, t)
= − + n(x − ∆t, t) ·
∆t
p(x, ∆t) − p(x, 0)
.
∆t
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