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3. Mathematische Modelle in der Biologie
Im Weiteren werden wir Modelle mit mehr als zwei Populationen betrachten.
Die Dynamik wird in diesem Falle auch durch Differentialgleichungen beschrieben.
Einfachheitshalber nennen wir dabei ε i , i = 1, . . . , m Wachstumsraten und γ ij , i, j =
1, . . . , m; i ≠ j Wechselwirkungskoeffizienten (oder Phagoskoeffizienten), wobei m
die Anzahl von agierenden Populationen ist.
Die Räuber-Beute Beziehungen kann man auch in der Ostseefischerei-Modellierung
anwenden. In dieser Arbeit werden die Populationen nicht nur im Bezug auf Lotka-
Volterra- Verhältnisse simuliert, es werden auch menschlichen Aktivitäten (Fischfang)
berücksichtigt. Das heißt, wir führen Steuerungfunktionen u i (t) , i = 1, . . . , m ein, die
die Dezimierung der i-ter Fischpopulation beschreiben. Sie kann die durch den Fang
wegzunehmende Biomasse sein oder die Anzahl der Fischkutter pro Fangperiode.
Eine andere Vorgehensweise wäre ein diskretes Modell. Die Entwicklungsgleichungen
werden wie folgt aussehen:
(
ẋ i (t) = ε i x i (t) · 1 − x )
i(t)
m∑ x i (t) x j (t)
− γ ij − u i (t) r i d · xi(t) ,
K i K i K j
K i
j=1,i≠j
i = 1, . . . , m. (3.2)
Döring studiert in [6] Beispiele kontinuierliche Modelle mit zwei Populationen. In
unserem Artikel [39] wird ein Verfahren betrachtet, das die optimale Anzahl der Kutter
für den Dorsch (als x 1 bezeichnet), den Hering (x 2 ) und die Sprotte (x 3 ) festlegt. Es
handelt sich um folgendes (Drei-Spezies) Modell mit entsprechenden Steuerungen:
ẋ 1 (t) = 0.4x 1 (t) · (1 − x 1 (t)) − 1.5 · 250 · u 1 (t) · x1(t)
10 6
−0.02 · x1(t)x 2 (t)
− 0.02 · x1(t)x 3 (t)
1.2 1.3
(
ẋ 2 (t) = 0.6x 2 (t) ·
1 − x 2(t)
1.2
−0.0125 · x1(t)x 2 (t)
(
ẋ 3 (t) = 0.6x 3 (t) ·
)
− 6.4 · 250 · u 2 (t) ·
− 0.01 · x2(t)x 3 (t)
1.2 1.56
)
1 − x 3(t)
− 6.4 · 250 · u
1.3
3 (t) ·
−0.0125 · x1(t)x 3 (t)
1.3
− 0.01 · x2(t)x 3 (t)
1.56
,
x 2 (t)
1.2·10 6
x 3 (t)
1.3·10 6
und Anfangswerte x 1 (0) = 0.25, x 2 (0) = 0.8, x 3 (0) = 1.0. In dem Modell (und auch
in weiteren Modellen in dieser Dissertation) übergehen wir von einem Lotka-Volterra-
Modell zu einem Konkurenz-Modell, da die Hering- bzw. die Sprottenpopulation
ebenfalls einen negativen Einfluss auf den Dorsch haben, in dem sie die Eier des
Dorsches fressen.
3.2.2. Altersgruppen
In den meisten Beispielen haben wir angenommen, dass die Wachstumsraten homogen
über die Population verteilt sind. Das kann oft zulässig sein, oft aber ist es doch eine
starke Vereinfachung.
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