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3.2. Erweiterte Modelle
3.2. Erweiterte Modelle
3.2.1. Lotka-Volterra-Modelle
In diesem Teil sollen jeweils zwei Arten mit unterschiedlichen Beziehungen
berücksichtigt werden. Die verschiedenen Modelltypen werden je nach der Art der
zwischenartlichen Beziehung klassifiziert.
Mehrere Populationen können sich gegenseitig beeinflussen. Wir betrachten zuerst
zwei Populationen, deren Größen durch x 1 und x 2 beschrieben werden. Eine
biologische Klassifikation ergibt folgende Muster:
Symbiose: Die Existenz jeder der Populationen stimuliert das Wachstum der anderen.
Konkurrenz: Die Anwesenheit jeder der Populationen behindert das Wachstum der
anderen.
Ausbeutung: Die Koexistenz behindert eine Population und fördert die andere, z. B.
indem die eine der anderen als Nahrung dient. Die Arten sind also in einem Räuber-
Beute-Verhältnis.
Ein bekanntes Entwicklungsmodell dazu ist das klassische Lotka-Volterra-
Modell von 1925 für ein Zwei-Populationen-System. Wir bezeichnen mit x 1
die Beutepopulation und mit x 2 die Räuberpopulation. Es seien ε 1 > 0
die Reproduktionsrate der Beute ohne Störung und bei entsprechend großem
Nahrungsangebot, ε 2 > 0 die Sterberate der Räuber, wenn keine Beute vorhanden ist,
γ 1 > 0 die Fressrate der Räuber pro Beutelebewesen und γ 2 > 0 die Reproduktionsrate
der Räuber pro Beutelebewesen. Wenn keine Beute vorhanden ist, müssen die Räuber
alle bald sterben, da sie keine Nahrungsaufnahme erhalten.
Die Wechselwirkung dieser beiden Populationen lässt sich durch folgende
Differentialgleichungen beschreiben:
ẋ 1 (t) = x 1 (t) (ε 1 − γ 1 x 2 (t))
ẋ 2 (t) = −x 2 (t) (ε 2 − γ 2 x 1 (t)) . (3.1)
Gegenseitige zeitliche Entwicklung solcher Spezies kann man der Abb. 3.1 entnehmen.
Die graphische Darstellung der Lösungsfunktionen erhält eine Periodizität in der
Wechselbeziehung der beiden Populationen. Man kann auch beweisen, dass die
Periodizität für alle Lösungen des Differentialgleichungssystems (3.1) gilt und auch
bei unterschiedlichen Anfangswerten erhalten bleibt.
Ein logistisches Entwicklungsmodell für ein Zwei-Populationen-System beschreibt
man wie folgt: Es seien K 1 , K 2 Kapazitäten oder logistische Terme. Die anderen
Parameter sind wie bei dem klassischen Modell. Das Räuber-Beute-Modell, welches
in beiden Populationen von begrenztem Lebensraum und damit Konkurrenz zwischen
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