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3. Mathematische Modelle in der Biologie
beschränken, kommt es in Populationen zu fortgesetztem Anstieg der Zahl der
Individuen. Verschiedene Modelle versuchen die zeitliche Entwicklung quantitativ zu
erfassen. Für die Frage, welches Populationsmodell am besten geeignet ist, hat Lotka
1925 verschiedene Ansätze gemacht.
Das einfachste Modell bei unbegrenzten Resourcen ist das exponentielle Wachstum.
Der Begriff „exponentielles Wachstum“ besagt, dass die Größe der Population mit der
Zeit exponentiell wächst.
Diese Annahme wurde 1798 durch Malthus formuliert. Eine Population, die von
äußeren Einflüssen ungestört ist, hat eine konstante Wachstumsrate ε, also je mehr
Individuen bereits vorhanden sind, desto schneller nimmt auch die Gesamtpopulation
zu. Die Entwicklung der Population wird durch die Differentialgleichungen
ẋ(t) = εx(t), t ≥ 0
beschrieben. Sie wird auch als Differentialgleichung des unbegrenzten Wachstums
bezeichnet.
Die explizite Lösung ist bekannt und leicht zu finden: x(t) = c · e εt mit dem
Anfangswert c = x(0) ≥ 0. Dieses Modell des exponentiellen Wachstums beschreibt
leider die Natur nicht wirklich. Realitätsnähere Modelle müssen daher zusätzliche
Parameter, sowie die Kapazitäten der Umgebung, berücksichtigen.
Für das Beispiel des Populationswachstums gehen wir nun von der natürlichen
Begrenzung des Lebensraumes für die Population aus. Diese ergibt sich aus
der Beschränkung der zur Verfügung stehenden Ressourcen wie Nahrung und
Raum, aber auch durch innerartliche Konkurrenz. Das Modell zur Beschreibung
der Populationsgröße ändert sich also durch die Annahme, dass das Ausmass
der Population nicht nur das Wachstum fördert, sondern auch beschränkt, da
jedes Individuum in Konkurrenz um den begrenzten Lebensraum mit den anderen
Populationsmitgliedern steht. 1838 formulierte Pierre François Verhulst diese Idee und
schlug das logistische Entwicklungsgesetz vor:
ẋ(t) = εx(t) · (1 − x(t)
K ),
dabei ist ε die Wachstumsrate (wie oben) und K ≠ 0 ist eine logistische Beschränkung.
Auch diese Differentialgleichung lässt sich explizit lösen:
mit dem Anfangswert c = x(0).
c · e εt
x(t) = K
, t ≥ 0,
K − c + c · eεt Auf dieser Basis entstehen weitere Modelle, die auf mehrere Spezies anzuwenden
sind und die von Interesse sein können.
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