disser1.pdf (2006 KB) - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

6. Zusammenfassung und Ausblick
in einem Modell mit stückweise konstanten Steuerungen nicht gewährleistet ist.
Aus diesem Grunde wurden neue notwendige Optimalitätsbedingungen, die aus
dem Bellmanprinzip resultieren, bewiesen und an einem Modell bestätigt.
Solche Optimalitätsbedingungen erlauben es, optimale Steuerungen auf den
Intervallen konstanter Länge durch geeignete Hilfsfunktonen zu berechnen.
Dabei werden die Prozessgleichungen, Transversalitätsbedingungen, Anfangsbzw.
Übergangsbedingungen verwendet.
Dies ist häufig mit dem Lösen größerer (nichtlinearer) Gleichungssysteme
verbunden. Die Methode funktioniert für klassische open-loop-Modelle und
auch für closed-loop-Modelle.
Die Vorgehensweise mit solchen Hilfsfunktionen ist neu und bietet eine
Alternative bei den Berechnungen stückweise konstanter Steuerungen. Ein
Nachteil bei solchen Modellen ist ein hoher Speicherbedarf, insbesondere, wenn
die Anzahl der Umschaltpunkten steigt.
Die berechneten Lösungen wurden durch bekannte notwendige
Optimalitätsbedingungen (Integrales Maximumprinzip) für stückweise
konstante Steuerungen bestätigt.
➣ Bei der Anwendung der notwendigen Optimalitätsbedingung wurde zwischen
linearen und nichtlinearen (in der Steuerung) Modellen unterschieden. Bei
vielen wissenschaftlichen Untersuchungen werden Aufgabenklassen modelliert,
bei denen Steuerungen in dem Zielfunktional und in den Prozessgleichungen
linear sind.
Eine optimale Lösung in diesen Modellen besitzt in der Regel sogenannte Bang-
Singulär-Bang oder eine einfache Bang-Bang-Struktur. Für die praktischen
Aufgaben hat sich erwiesen, dass eine derartige optimale Lösung das
Zielfunktional in einem gewissen Zeitabschnitt maximiert.
Bei den Modellen, die in den Steuerungen nichtlinear sind (und in der
Arbeit lediglich aus einem theoretischen Interesse entstanden sind) wurden
sowohl die Methoden benutzt, die notwendige Bedingungen verwenden, als
auch die sogenannten Direkten Verfahren, die das Problem durch ein endlichdimensionales
Optimierungsproblem annähern.
Das Direkte Verfahren wird mit dem Programm OC-ODE von Gerdts realisiert.
Dabei werden die Zustände durch stückweise lineare Funktionen und die
Steuerungen durch stückweise stetige (stückweise konstante) Funktionen
approximieren. Auf diesem Wege wurden optimale Fangraten berechnet und
auch weitere ökologische Fischfangmodelle untersucht.
➣ Hinreichende Optimalitätsbedingungen wurden diskutiert und die Gültigkeit der
von K.Arrow an einem konkreten Beispiel getestet. Es stellte sich heraus, dass
deren Gültigkeit häufig nicht nachzuweisen ist.
➣ Es wurden weitere ökologische Fragestellungen untersucht, i.e., Modelle mit
116