disser1.pdf (2006 KB) - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

KAPITEL VI
Zusammenfassung und Ausblick
Die vorliegende Dissertation beschäftigt sich mit mathematischen Aspekten für einige
biologische Probleme. Es geht um eine Anwendung der Optimalsteuerungstheorie
in einer nachhaltigen Ostsee-Fischerei. Die Motivation dieser Arbeit ist eine
Untersuchung bei der Dorschpopulation. Diese war in den letzten fünfzehn Jahren
stark abgesunken. Es gilt die Bestände nachhaltig zu retten und die gesamte
ökologische Lage in der Ostsee zu verbessern.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Koexistenz der Organismen zu beschreiben,
wie z.B. Symbiose, Protokooperation oder Räuber-Beute-Verhältnisse. Bei einem
Räuber-Beute-Modell betrachtet man in der Regel zwei oder mehrere Spezies mit
gegenseitigen Wechselwirkungen. Dabei werden Individuen einer Population von den
Individuen einer anderen Population als Nahrung benutzt.
Das zentrale Modell der Arbeit ist eine Aufgabe der Gewinnmaximierung bei
einem Dreipopulationen-System (bestehend aus Dorsch, Hering und Sprotte). Das
Zielfunktional mit Nebenbedingungen (ODE) und gegebenen Anfangswerten, wird
maximiert. Bei den Prozessgleichungen handelt es sich um ein bekanntes logistisches
Lotka-Volterra-Modell (1925), das auf mehrere Populationen verallgemeinert wird.
Außerdem beinhalten die Gleichungen des Modells gewisse Steuerkomponenten, die
den Einfluss durch die Fischerei beschreiben.
Die Steuerungen können dabei als Anzahl der Fischkutter oder als abzufangende
Biomasse aufgefasst werden. Dabei betrachten wir sowohl klassische Modelle, die
Steuerungen in der Klasse der stückweise stetigen Funktionen nehmen, als auch
besondere Modelle, die stückweise konstante Steuerungen verlangen. Dies kann bei
dem Fischfangmodell eine gravierende Rolle spielen, da man z.B. die Anzahl der
Kutter stückweise konstant (besser ganzzahlig) betrachten muss.
➣ Für beide Steuerungsklassen werden notwendige Bedingung untersucht. In der
klassischen Theorie gilt das Maximumprinzip von Pontrjagin, dessen Gültigkeit
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