disser1.pdf (2006 KB) - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

5.5. Ökologische Modelle mit nichtlinear auftretender Steuerung
control 1
Control 1 vs time
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0 5 10 15 20
t
state 1
State 1 vs time
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0 5 10 15 20
t
Abbildung 5.27.: Eindimensionales Modell mit quadratisch auftretender Steuerung für
10 Steuerungsintervalle. Optimale stückweise konstante Steuerung (links) und die
Populationsentwicklung (rechts)
Diese Lösung erfüllt ebenfalls neue notwendige Bedingungen (5.17)-(5.18). In der
Tat, die optimalen Steuerungswerte können aus dem nichtlinearen Gleichungssystem
[
p 1 ε 1
0 = − 4c 1 v 0 + 0.25 · −
(ε 1 − s 1 v 0 ) + p 1 ε 1
2 (ε 1 − s 1 v 0 ) · 2 e(s 1v 0 −ε 1 )(−2)
{ p1 v 0
+
− p 1v 1
ε 1 − s 1 v 0 ε 1 − s 1 v
( 1
p1 v 1
+
− p 1v 2
+ . . .
ε 1 − s 1 v 1 ε 1 − s 1 v
{ 2
p1 v 9
+
− p 1v 10
+ p }
)
1v 10
· e −2·(s 1v 10 −ε 1 )
. . . · e −2·(s 1v 2 −ε 1 )
ε 1 − s 1 v 9 ε 1 − s 1 v 10 ε 1 − s 1 v 10
}
]
· e −2·(s 1v 1 −ε 1 )
· (−2s 1 ) · e −2·(s 1v 0 −ε 1 )
,
. . .
0 = − 4c 1 v 10 + 0.25 · e (ε 1−s 1 v 0 )·2 . . . · e (ε 1−s 1 v 9 )·2
[
p 1 ε 1
· −
(ε 1 − s 1 v 10 ) + p 1 ε 1
2 (ε 1 − s 1 v 10 ) · 2 e(s 1v 10 −ε 1 )(−2)
+ p ]
1v 10
· (−2s 1 ) · e (s 1v 10 −ε 1 )(−2)
ε 1 − s 1 v 10
erhalten werden.
Wird nun das dreidimensionale quadratische Modell (5.12) mit stückweise
konstanten Steuerungen betrachtet, so bekommen wir entsprechende Lösungen auf
Abbildungungen 5.28,5.29,5.30. Es wird dabei ein Gewinn von 969.75 Mio. Euro
erzielt.
113