disser1.pdf (2006 KB) - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

5. Numerische Methoden für verschiedene Aufgaben der Optimalsteuerung
Durch notwendige Optimalitätsbedingungen resultiert daraus das Gleichungssystem
[
p 1 ε 1
0 = − 20c 1 v 0 + 0.25 · −
(ε 1 − s 1 v 0 ) + p 1 ε 1
2 (ε 1 − s 1 v 0 ) · 2 e(s 1v 0 −ε 1 )(−10)
(
p1 v 0
+
− p )
1v 1
· (−10s 1 ) · e (s 1v 0 −ε 1 )(−10)
ε 1 − s 1 v 0 ε 1 − s 1 v 1
+ p ]
1v 1
· (−10s 1 ) · e −10·(s 1v 0 +s 1 v 1 −2ε 1 )
,
ε 1 − s 1 v 1
0 = − 20c 1 v 1 + 0.25 · e (ε 1−s 1 v 0 )·10
[
· −
p 1 ε 1
(ε 1 − s 1 v 1 ) 2 + p 1 ε 1
(ε 1 − s 1 v 1 ) 2 · e(s 1v 1 −ε 1 )(−10)
+ p 1v 1
ε 1 − s 1 v 1
· (−10s 1 ) · e (s 1v 1 −ε 1 )(−10)
Dieses nichtlineare Gleichungssystem lösen wir mit Hilfe der Newton-Methode
(Programm C.6 im Anhang).
Die optimalen Steuerungen sind hier u 1 ∗ (0) = 5.2062; u 1 ∗ (10) = 115.8157 mit dem
Wert des Zielfunktionals 281.156 Mio. Euro, was größer ist, als die mit dem OC-ODE-
Programm berechnete Lösung.
Jetzt betrachten wir das Modell (5.16) mit 10 Steuerungsintervallen. Als Lösung
erhalten wir hier folgende Werte (vgl. auch Abb. 5.27):
]
.
Jahr x u J(u)
0.0 0.25000 0.00000 0.00000
2.0 0.30535 0.00000 0.00000
4.0 0.37295 0.00000 0.00000
6.0 0.45553 11.2777 0.00000
8.0 0.55169 29.9886 4.48075
10.0 0.65885 52.3139 17.5753
12.0 0.77376 78.5078 42.4233
14.0 0.89104 108.642 82.3067
16.0 1.00315 142.537 139.900
18.0 1.10103 179.708 216.108
20.0 1.17523 179.708 308.650
Tabelle 5.1.: Lösung der Aufgabe (5.16) mit 10 Steuerungsintervallen
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