disser1.pdf (2006 KB) - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

5.5. Ökologische Modelle mit nichtlinear auftretender Steuerung
Nun lösen wir die Prozessgleichungen für konstante v k :
ẋ 1 (t, v k ) = (ε 1 − s 1 v k )x 1 (t, v k ), k = 0, 1
mit entsprechenden Anfangsbedingungen x 1 (t k ) = x 1k , k = 0, 1 und erhalten:
x 1 (t, v k ) = e (ε 1−s 1 v k )t , t ∈ [t k , t k+1 ),
mit x 1 (0, v 0 ) = 0.25. Nun berechnen wir λ 1 (t, v k ) und S 1 (t, v k ) für k = 0, 1 zu:
λ 1 (t, v k ) = −
p 1v k
+ L 1 · e (s 1v k −ε 1 )t ,
ε 1 − sv k
S 1 (t, v k ) = c 1 v 2 k t + L 2 .
Dabei sind L 1 , L 2 Integrationskonstanten. Auf dem Intervall [10; 20) erhalten wir mit
Hilfe der Transversalitätsbedingungen
λ 1 (t, v 1 ) = − p 1v 1
+ p 1v 1
· e (s 1v 1 −ε 1 )(t−20) ,
ε 1 − sv 1 ε 1 − sv 1
S 1 (t, v 1 ) = c 1 v 2 1 t − 20c 1 v 2 1 .
Durch Übergangsbedingungen resultieren im Intervall [0; 10):
λ 1 (t, v 0 ) = − p (
1v 0 p1 v 0
+ − p )
1v 1
· e (s 1v 0 −ε 1 )(t−10)
ε 1 − sv 0 ε 1 − sv 0 ε 1 − sv 1
+ p 1v 1
ε 1 − sv 1
· e −10·(s 1v 0 +s 1 v 1 −2ε 1) · e (s 1v 0 −ε 1 )t ,
S 1 (t, v 0 ) =c 1 v 0 2 t − 10c 1 (v 0 2 + v 1 2 ).
Die optimalen Steuerungen werden mit Hilfe folgender Formeln berechnet:
{
u ∗ 1(0) = arg max − 10c 1 (v 2 0 + v 2 1 )
v 0 ∈Ω
[
+ − p (
1v 0 p1 v 0
+
− p )
1v 1
· e (s 1v 0 −ε 1 )(−10)
ε 1 − s 1 v 0 ε 1 − s 1 v 0 ε 1 − s 1 v 1
+ p ] }
1v 1
· e −10·(s 1v 0 +s 1 v 1 −2ε 1 )
· 0.25 ,
ε 1 − s 1 v
{ 1
u ∗ 2
1(10) = arg max − 10c 1 v 1
v 1 ∈Ω
[
+ − p 1v 1
+ p ]
}
1v 1
· e (s 1v 1 −ε 1 )(−10)
· 0.25 · e (ε 1−s 1 v 0 )·10
.
ε 1 − sv 1 ε 1 − sv 1
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