disser1.pdf (2006 KB) - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

5. Numerische Methoden für verschiedene Aufgaben der Optimalsteuerung
control 1
Control 1 vs time
120
100
80
60
40
20
0
0 5 10 15 20
t
state 1
State 1 vs time
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0 5 10 15 20
t
Abbildung 5.26.: Eindimensionales Modell mit quadratisch auftretender Steuerung
für 2 Steuerungsintervalle. Optimale stückweise konstante Steuerung (links) und die
Populationsentwicklung (rechts)
mit
x 1 (t 0 , v) = x 1 (t 0 ) = 0.25, x 1 (t 1 , v) = x 1 (t 1 ) = x 1 (t 1 − 0, u ∗ (t 0 )),
λ 1 (t 1 − 0, v 0 ) = λ 1 (t 1 , u ∗ 1(t 1 )), S 1 (t 1 − 0, v 0 ) = S 1 (t 1 , u ∗ 1(t 1 ))
und mit den Tranversalitätsbedingungen
Daraus erhalten wir:
und
λ(20, v) = 0, S(20, v) = 0, ∀v ∈ Ω ist.
u ∗ 1(0) = arg max
v 0 ∈Ω
u ∗ 1(10) = arg max
v∈Ω
{
S1 (0, v) + λ 1 (0, v) · 0.25 } ,
{
S1 (10, v) + λ 1 (10, v) · x 1 (10, v) } . (5.19)
Die zugehörige Differentialgleichungen (5.17) und (5.18) für k = 0, 1 lauten hier:
˙λ 1 (t, v k ) = −p 1 v k − ε 1 λ 1 (t, v k ) + s 1 λ 1 (t, v k )v k , (5.20)
−Ṡ1(t, v k ) = −c · v k 2 .
Weiterhin gilt auch die Prozessgleichung:
sowie Übergangsbedingungen:
ẋ 1 (t, v k ) = ε 1 x 1 (t, v k ) − s 1 v k x 1 (t, v k ), k = 0, 1,
x 1 (0, v 0 ) = 0.25, x 1 (10, v 1 ) = x(10 − 0, v 0 ).
λ 1 (t 1 − 0, v 0 ) = λ 1 (t 1 , u ∗ 1), S 1 (t 1 − 0, v 0 ) = S 1 (t 1 , u ∗ 1).
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