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5.5. Ökologische Modelle mit nichtlinear auftretender Steuerung
mit x 1 (0) = x 10 = 0.25 und numerisch berechneten Adjungierten, dass die Gleichung
∫ 1
0
(
)
p 1 x ∗ 1(t)e −δt − 2c · u ∗ 1(0)e −δt − λ 1 (t)s 1 x ∗ 1(t) dt = 0
erfüllt wird (Programme C.4 im Anhang). Analog zeigt man diese Eigenschaft für
weitere Konstantheitsintervalle.
Wenn man an dieser Stelle die im Kapitel 4.5.3 gewonnenen notwendigen
Pantelejew-Bedingungen ausnutzen würde, müsste man viel aufwändigere
Berechnungen durchführen. Wir sehen dies bei folgenden Überlegungen an dem
Modell mit einem exponentiellem Wachstum und ohne Diskontierung:
1.5 · 250
ẋ 1 (t) = 0.1x 1 (t) − · u
10 6 1 (t k )x 1 (t), k = 0, 1, . . . , n − 1;
x 1 (0) = x 10 = 0.25,
J(⃗v) =
u 1 (·) stückweise konstant:
u 1 (t) = (u 1 (t 0 ), u 1 (t 1 ), . . . , u 1 (t n−1 )) = (v 0 , v 1 , . . . , v n−1 ) = ⃗v,
0 ≤ v i ≤ 900, i = 0, . . . , n − 1, 0 ≤ t ≤ 20,
∑n−1
k=0
∫t k+1
t k
{ 1130 · 1.5 · 250
10 6 · v k (t)x 1 (t) − 5 · 250
10 6 · v 2 k (t)
}
dt → max,
⃗v
t n = T = 20, (5.16)
Werden zwei Steuerintervalle genommen, liefert das OC-ODE-Programm folgendes
Ergebnis: u 1 ∗ (0) = 6.16; u 1 ∗ (10) = 115.44 mit dem Wert des Zielfunktionals 279.328
Mio. Euro.
Nun verwenden wir die Bedingungen aus 4.5.3. Es muss für die optimalen
u ∗ 1(·), x ∗ 1(·) mit u ∗ 1(t) = u ∗ 1(t k ), x ∗ 1(t) = x(t, u ∗ 1(t k )), jeweils für t ∈ [t k , t k+1 ) und
k = 0, 1 gelten:
wobei S 1 (t, v) die Lösung von
{
u ∗ 1(t k ) = arg max S1 (t k , u 1 ) + λ 1 (t k , u 1 ) · x 1 (t k ) } ,
u 1 ∈Ω
− ∂S 1(t, v)
∂t
= H(x ∗ 1(t, v), v, λ 1 (t, v), t) − ∂H(x∗ 1(t, v), v, λ 1 (t, v), t)
∂x 1
x ∗ 1(t, v) (5.17)
und λ 1 (t, v) die Lösung von
˙λ 1 (t, v) = − ∂
∂x 1
H(x ∗ 1(t, v), v, λ 1 (t, v), t), ∀(t, v) ∈ [t k , t k+1 ) × Ω, (5.18)
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