disser1.pdf (2006 KB) - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

5. Numerische Methoden für verschiedene Aufgaben der Optimalsteuerung
graphische Lösung 5.25. 3 Das Programmsystem MATLAB zeigt, dass diese Lösung
160
Control 1 vs time
0.9
State 1 vs time
140
0.8
120
0.7
control 1
100
80
state 1
0.6
0.5
60
0.4
40
0.3
20
0 5 10 15 20
t
0.2
0 5 10 15 20
t
Abbildung 5.25.: Eindimensionales Modell mit quadratisch auftretender Steuerung. Optimale
stückweise konstante Steuerung (links) und die Populationsentwicklung (rechts)
das Integral-Maximumprinzip für die stückweise konstanten Steuerungen erfüllt. Die
notwendige Bedingung
=
∫
t k+1
t k
H u1 (x ∗ 1(t), u ∗ 1(t k ), λ 1 (t), t)dt
∫t k+1
(
)
p 1 x ∗ 1(t)e −δt − 2c · u ∗ 1(t k )e −δt − λ 1 (t)s 1 x ∗ 1(t) dt = 0.
t k
gilt auf jedem Intervall [t k , t k+1 ), k = 0, . . . , n − 1.
So erhalten wir z.B. auf dem Intervall [0; 1) mit den Konstanten δ = 0.06; p 1 =
0.42375; ε 1 = 0.4; s 1 = 0.000375; K 1 = 1; c = 0.00125, der konstanten
Steuerung u ∗ 1(0) = 38.519 und der aus dazugehöriger Prozessgleichung entstandenen
Zustandsfunktion
3 siehe [10]
x ∗ 1(t) =
=
(
K 1 − s )
1K 1 u ∗ 1(0)
x 10 e (ε 1−s 1 u ∗ 1 (0))t
ε 1
(
K 1 − s )
1K 1 u ∗ 1(0)
ε 1
+ x 10 (e (ε 1−s 1 u ∗ 1 (0))t − 1)
(
K 1 − s )
1u ∗ 1(0)
x 10
ε 1
(
K 1 − s 1K 1 u ∗ 1(0)
ε 1
− x 10
)
e (s 1K 1 u ∗ 1 (0)−ε 1)t
+ x 10
, t ∈ [0, 1),
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