disser1.pdf (2006 KB) - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

5.5. Ökologische Modelle mit nichtlinear auftretender Steuerung
12 x 10−3 Randwertproblem
11
10
9
8
u(t)
7
6
5
4
3
2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
t
Abbildung 5.24.: Optimale Steuerung in einem Modell mit logarithmisch auftretender
Steuerung
5.5.2. Modelle mit stückweise konstanten Steuerungen
Jetzt betrachten wir zunächst die eindimensionale quadratische Aufgabe (5.11) und
suchen eine stückweise konstante Lösung. Das Modell wird für den Fall stückweise
konstanter Steuerungen auf n Intervallen einer fixierten Länge folgendermaßen
umgeschrieben:
ẋ 1 (t) = 0.4x 1 (t) · (1 − x 1 (t)) −
J(⃗v) =
x 1 (0) = x 10 = 0.25,
u 1 (·) stückweise konstant:
1.5 · 250
10 6 · u 1 (t k )x 1 (t), k = 0, 1, . . . , n − 1;
u 1 (t) = (u 1 (t 0 ), u 1 (t 1 ), . . . , u 1 (t n−1 )) = (v 0 , v 1 , . . . , v n−1 ) = ⃗v,
0 ≤ v i ≤ 900, i = 0, . . . , n − 1, 0 ≤ t ≤ 20,
∑n−1
k=0
∫t k+1
t k
{ 1130 · 1.5 · 250
10 6 · v k (t)x 1 (t) − 5 · 250
10 6 · v 2 k (t)
t n = T = 20, t i = i, i = 0, . . . , 19
und ohne Endbedingungen.
}
e −0.06t dt → max,
⃗v
Die Hamilton-Funktion für diese Aufgabe lautet:
{
( (
H(x 1 , u 1 , λ 1 , t) = p 1 u 1 x 1 − c · u 2 1
}e −δt + λ 1 ε 1 x 1 · 1 − x )
1
− s 1 u 1 x 1
).
K 1
(5.15)
Dieses Modell wurde mit dem Programm OC-ODE von Gerdts zunächst für n = 20
(d.h., die Anzahl der Kutter ändert sich jedes Jahr einmal) gelöst. Wir erhalten die
107