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5. Numerische Methoden für verschiedene Aufgaben der Optimalsteuerung
Eine quadratische Abhängigkeit der Steuerung ist hier nur eine theoretische
Annahme und liefert einen mathematisch interessanten Lösungsverlauf. Andere in
u nichtlineare Modelle, z.B. mit dem Kostenterm c · ln u 1 (t) oder c · √u
1 (t)
sind mathematisch nicht so interessant, da die mit den in der Fischerei üblichen
Koeffizienten erzeugten optimalen Steuerungen nicht in einem realistischen Intervall
liegen, so dass für ein beschränktes Steuerintervall häufig wieder eine Bang-
Bang-Struktur entstehen kann. Dies kann man beispielsweise an dem folgenden
logarithmischen Modell sehen:
Zu maximieren sei das Zielfunktional
J (u) =
∫ T
0
{
}
p 1 u 1 (t)x 1 (t) − c · ln u 1 (t) e −δt dt → max
u
0 ≤ u 1 (t) ≤ u max , 0 ≤ t ≤ T,
(5.13)
mit der üblichen Nebenbedingung:
(
ẋ 1 (t) = ε 1 x 1 (t) · 1 − x )
1(t)
− s 1 u 1 (t)x 1 (t),
K 1
x 1 (0) = x 10 , (5.14)
mit gegebenen p 1 , c, ε 1 , K 1 , δ, s 1 , dem Anfangswert x 1 (0) = x 10 und ohne
Endbedingungen.
Die Hamiltonfunktion lautet:
H(x 1 , u 1 , λ 1 , t) =
{p 1 u 1 x 1 − c · ln u 1
}e −δt + λ 1
(
ε 1 x 1 ·
(
1 − x 1
K 1
)
− s 1 u 1 x 1
).
Hier wählen wir die Konstanten so, dass eine optimale Steuerung im Inneren des
Steuerintervalls angenommen wird. Daher ergibt sich
u ∗ 1(t) = arg max H(x ∗
0≤u 1 ≤u max
1, u 1 , λ 1 , t) =
Löst man das entsprechende Randwertproblem:
c
, für fast alle t.
x ∗ 1(t)(p 1 − λ 1 (t)s 1 e δt )
−p 1 ce
˙λ −δt
1 (t) =
x ∗ 1(t)(p 1 − λ 1 (t)s 1 e δt ) − ε 1λ 1 (t) + 2ε 1 λ 1 (t) x∗ 1(t) s 1 λ 1 (t)c
+
K 1 x ∗ 1(t)(p 1 − λ 1 (t)s 1 e δt ) ,
( )
ẋ ∗ 1(t) = ε 1 x ∗ 1(t) · 1 − x∗ 1(t) cs 1
−
K 1 p 1 − λ 1 (t)s 1 e , δt
x ∗ 1(0) = x 10 , λ 1 (T ) = 0,
so erhält man mit gegebenen Konstanten eine optimale Steuerung u ∗ 1(0) ≈ 0.012 und
sie strebt nach Null mit wachsenden t (Programme C.5). Die Tatsache lässt sich leicht
erklären: ln(u ∗ 1(t)) würde nach minus Unendlich streben, falls u ∗ 1(t) gegen 0 geht, das
heißt, das Zielfunktional würde in diesem Modell stark wachsen, aber diese Lösung
ist aus praktischen Gründen nicht besonders interessant, da es überhaupt keinen Fang
gäbe.
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