disser1.pdf (2006 KB) - Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

5. Numerische Methoden für verschiedene Aufgaben der Optimalsteuerung
250
State 2 vs time
200
state 2
150
100
50
0
0 5 10 15 20
t
Abbildung 5.20.: Eindimensionales Modell mit quadratisch auftretender Steuerung (Gewinn
nach 20 Jahren)
Nun suchen wir nach optimalen Steuerungen für das dreidimensionale Lotka-
Volterra-Modell, bestehend aus Dorsch(x 1 ), Hering(x 2 ) und Sprotte(x 3 ) und „Anzahl
der Kutter “ für Fang der einzelnen Spezies u = (u 1 , u 2 , u 3 ) für ein Zeitintervall von
20 Jahren, das folgendermaßen formuliert wird.
J (u) =
∫ T
0
{
1130 · u 1 (t) · 1.5 · 250 · x1 (t)
+460u 3 (t) · 6.4 · 250 ·
+ 270 · u
10 6 2 (t) · 6.4 · 250 ·
x 3 (t)
1.3 · 10 − 5 · 250 3∑
· u 2 6 10 6 i (t)
J (u) → max
u
0 ≤ u 1 (t) + u 2 (t) + u 3 (t) ≤ 1900, 0 ≤ t ≤ 20,
0 ≤ u i (t) ≤ 900, 0 ≤ t ≤ 20, i = 1, 2, 3,
mit Nebenbedingungen:
i=1
ẋ 1 (t) = 0.4x 1 (t) · (1 − x 1 (t)) − 1.5 · 250 · u 1 (t) · x1(t)
10 6
−0.02 · x1(t)x 2 (t)
− 0.02 · x1(t)x 3 (t)
,
1.2 1.3
(
ẋ 2 (t) = 0.6x 2 (t) ·
1 − x 2(t)
1.2
−0.0125 · x1(t)x 2 (t)
(
ẋ 3 (t) = 0.6x 3 (t) ·
)
− 6.4 · 250 · u 2 (t) ·
− 0.01 · x2(t)x 3 (t)
,
1.2 1.56
)
1 − x 3(t)
− 6.4 · 250 · u
1.3
3 (t) ·
−0.0125 · x1(t)x 3 (t)
− 0.01 · x2(t)x 3 (t)
1.3 1.56
x 2 (t)
1.2·10 6
x 3 (t)
1.3·10 6
x 2 (t)
1.2 · 10 6
}
e −0.06t dt
(5.12)
und Anfangswerten x 1 (0) = 0.25, x 2 (0) = 0.8, x 3 (0) = 1.0 und ohne
Endbedingungen. Auf den Abbildungen 5.21,5.22,5.23 erhalten wir den
entsprechenden Lösungsverlauf.
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