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5. Numerische Methoden für verschiedene Aufgaben der Optimalsteuerung
Betrachtet wird also die Aufgabe
J (u) =
∫ T
0
{
1130 · u 1 (t) · 1.5 · 365 · x1(t) + 270 · u
1 2 (t) · 6.4 · 365 · x2(t)
1.2
+460u 3 (t) · 6.4 · 365 · x3(t)
1.3 − 500 · 365 · 3∑
J (u) → max
u
0 ≤ u 1 (t) + u 2 (t) + u 3 (t) ≤ 1900, 0 ≤ t ≤ 1,
0 ≤ u i (t) ≤ 900, 0 ≤ t ≤ 1, i = 1, 2, 3,
i=1
u i (t)
}
e −0.06t dt
(5.7)
mit Nebenbedingungen:
ẋ 1 (t) = 0.4 · (1 + sin(2πt))x 1 (t) · (1 − x 1 (t)) − 1.5 · 365 · u 1 (t) · x1(t)
10 6
−0.02 · x1(t)x 2 (t)
− 0.02 · x1(t)x 3 (t)
1.2 1.3
(
ẋ 2 (t) = 0.6 · (1 − cos(2πt))x 2 (t) ·
1 − x 2(t)
1.2
− 0.01 · x2(t)x 3 (t)
1.2 1.56
−0.0125 · x1(t)x 2 (t)
(
ẋ 3 (t) = 0.6 · (1 − cos(2πt))x 3 (t) ·
1 − x 3(t)
1.3
−0.0125 · x1(t)x 3 (t)
1.3
− 0.01 · x2(t)x 3 (t)
1.56
,
)
− 6.4 · 365 · u 2 (t) ·
)
− 6.4 · 365 · u 3 (t) ·
x 2 (t)
1.2·10 6
x 3 (t)
1.3·10 6
Anfangswerten x 1 (0) = 0.58, x 2 (0) = 0.71, x 3 (0) = 0.69 und denselben Endwerten
x 1 (1) = 0.58, x 2 (1) = 0.71, x 3 (1) = 0.69.
Bei dieser Strategie kann ein Gewinn von 125.115 Mio. Euro nach einem Jahr
erreicht werden. Dafür müsste man in jedem Vierteljahr folgende Anzahl der Kutter
u 1 ,u 2 und u 3 verwenden.
Monat x 1 x 2 x 3 u 1 u 2 u 3
Januar 0.5800 0.7100 0.6900 492.03 48.343 48.565
April 0.5783 0.7344 0.7214 13.741 289.27 355.16
Juli 0.5821 0.6756 0.6568 520.41 0.0000 0.0000
Oktober 0.5782 0.7176 0.7038 38.631 139.21 190.68
Die Abbildungen 5.16, 5.17, 5.18 zeigen, wie durch solche Entwicklungsgesetze
beschriebene Modelle verlaufen.
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