¨Ubungsblatt 2 — Lösungen - Institut für Informatik
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Grundlagen der Künstlichen Intelligenz<br />
Prof. Dr. M. Bennewitz, Prof. Dr. W. Burgard,<br />
Dr. M. Ragni<br />
N. Abdo, Dr. J. Boedecker, M. Göbelbecker, J. Hess<br />
Sommersemester 2013<br />
Universität Freiburg<br />
<strong>Institut</strong> <strong>für</strong> <strong>Informatik</strong><br />
Aufgabe 2.1 (Problemformalisierung)<br />
Übungsblatt 2 <strong>—</strong> <strong>Lösungen</strong><br />
Geben Sie <strong>für</strong> die folgenden Problemstellungen jeweils eine möglichst präzise<br />
Formulierung an, die aus Anfangszustand, Zustandsraum, Aktionen, Zieltest<br />
und einer Pfadkostenfunktion besteht:<br />
• Sie wollen mit dem Auto von Freiburg nach Berlin fahren. Sie haben eine<br />
aktuelle Autobahnkarte von Deutschland und eine Liste von Staumeldungen<br />
<strong>für</strong> bestimmte Streckenabschnitte, aber kein Navigationssystem.<br />
Lösung:<br />
Zustände: Städte auf der Deutschlandkarte, die durch Autobahnen verbunden<br />
sind.<br />
Anfangszustand: Freiburg<br />
Zieltest: In Berlin?<br />
Aktionen: Von einer Stadt zur nächsten fahren.<br />
Pfadkosten: z.B. gewichtete Summe aus Straßenlänge + Verkehrsdichte<br />
• Sie müssen eine Karte von Europa mit nur vier Farben einfärben. Damit<br />
man die Grenzen einzelner Länder erkennen kann, ist es erforderlich, dass<br />
es keine Nachbarländer mit gleicher Einfärbung gibt.<br />
Lösung:<br />
Zustände: Die Zustände sind 49-Tupel der Farben rot, grün, blau, gelb<br />
oder ungefärbt (z.B.). Jeder Eintrag repräsentiert ein Land auf der Karte.<br />
Der Kompaktheit halber kann man die Farben mit den Zahlen 0 (rot) bis<br />
4 (ungefärbt) kodieren.<br />
Anfangszustand: Alle Länder sind ungefärbt / alle Länder sind rot /<br />
jedes Land kann eine der 4+1=5 Farben [ungefärbt, r,g,b,y] haben.<br />
Zieltest: Alle Länder sind gefärbt, benachbarte Länder haben unterschiedliche<br />
Farben?<br />
Aktionen:EinemLandeineder4Farbenzuweisenundvorherüberprüfen<br />
obeinNachbarlandschondiegleicheFarbehat/einLandumfärben,wenn<br />
ein Konflikt festgestellt wird.<br />
Pfadkosten: Jede Aktion verursacht Einheitskosten.<br />
• Ein Affe befindet sich in einem Raum mit einer Kiste, und an der Decke<br />
hängenaußerhalbseinerReichweiteBananen.ErwürdegernedieBananen<br />
essen.<br />
1
a 0,1<br />
b small b medium ,b big b medium ,b big<br />
a 1,2<br />
b small b medium b big<br />
Lösung:<br />
Zustände: Die Zustände sind die Positionen und Höhen des Äffchens, der<br />
Kiste und der Bananen.<br />
Anfangszustand: Affe befindet sich an Position A mit Höhe niedrig, die<br />
Kiste steht an Position B mit Höhe niedrig, die Bananen sind an Position<br />
C mit Höhe hoch.<br />
Zieltest: Bananen sind in der Hand des Affen (Position Affe = Position<br />
Bananen?).<br />
Aktionen: Affe kann sich irgendwohin bewegen, kann die Kiste bewegen,<br />
kann auf die Kiste klettern, von der Kiste herunterklettern, die Bananen<br />
greifen, Bananen essen, ...<br />
Pfadkosten: Jede Aktion verursacht Einheitskosten.<br />
Aufgabe 2.2 (Uninformierte Belief-Space-Suche)<br />
Sie sollen drei unterschiedlich große Klötzchen, die an den Positionen 0, 1 und<br />
2 aufgereiht sind, der Größe nach sortieren, können aber die Klötzchen weder<br />
sehen noch selbst bewegen. Sie können jedoch einer anderen Person Anweisungen<br />
der folgenden Form geben: ”<br />
Vergleiche die Klötzchen an Positionen i und<br />
j und bringe sie gegebenenfalls durch Vertauschung relativ zueinander in die<br />
richtige Reihenfolge“ (Anweisung a ij ). Die initiale Anordnung der Klötzchen ist<br />
Ihnen unbekannt. Geben Sie eine Folge von Anweisungen an, nach der Sie mit<br />
Sicherheit wissen, dass die Klötzchen richtig angeordnet sind. Geben Sie an, wie<br />
sich Ihr belief state mit der Zeit entwickelt.<br />
Lösung:<br />
Position<br />
Beliefspace→ 0 1 2<br />
Aktion ↓<br />
b small ,b medium ,b big b small ,b medium ,b big b small ,b medium ,b big<br />
a 0,2<br />
b small ,b medium b small ,b medium ,b big b medium ,b big<br />
Aufgabe 2.3 (Pfadkosten)<br />
In der Vorlesung sind wir bisher davon ausgegangen, dass die Pfadkosten nie<br />
negativ sein können. In dieser Aufgabe werden wir negative Pfadkosten sowie<br />
Zyklen in Pfaden besprechen.<br />
(a) Nehmen Sie an, dass eine negative untere Schranke c < 0 <strong>für</strong> die Pfadkosten<br />
pro Schritt eingeführt wird. Das heißt, Kosten können negativ, aber<br />
nie kleiner als c sein. Verhindert diese Änderung, bei der uniformen Kostensuche<br />
den ganzen Baum zu durchsuchen? Wenn ja, warum?<br />
Lösung:<br />
2
TrotzBeschränkungdernegativenPfadkostenmussgrundsätzlichderganze<br />
Baum durchsucht werden, wenn man sicher sein will, die optimale<br />
Lösung zu finden. Denn egal, wie teuer ein Pfad bisher bewertet ist, es<br />
könnte immer noch sein, dass eine Sequenz von negativen Kosten die gesamten<br />
Kosten verbessert.<br />
(b) Nehmen Sie an, es gibt eine Sequenz von Operatoren, die einen Ring bilden,<br />
so dass die Ausführung dieser Sequenz keine Änderung des Zustandes<br />
zur Folge hat. Wenn nun alle diese Operatoren negative Kosten haben,<br />
welche Auswirkungen hat dies bezüglich des optimalen Verhaltens eines<br />
Agenten in einer solchen Umgebung?<br />
Lösung:<br />
Der Agent wird dann wahrscheinlich <strong>für</strong> immer in dieser Schleife bleiben,<br />
da der Nutzen immer grösser wird, beziehungsweise die Kosten immer<br />
geringer, je mehr dieser Aktionen er ausführt.<br />
Aufgabe 2.4 (A*-Suche)<br />
(a) Spielen Sie das 8-Puzzle mit dem A*-Algorithmus durch, ausgehend von<br />
folgendem Anfangszustand:<br />
Der Zielzustand soll sein:<br />
2 8 3<br />
1 6 4<br />
7 5<br />
1 2 3<br />
8 4<br />
7 6 5<br />
Zeigen Sie die Folge der Suchknoten, die der Algorithmus betrachtet und<br />
die entsprechenden f-, g- und h-Werte <strong>für</strong> jeden Knoten. Verwenden Sie<br />
dabeidiebeideninderVorlesungvorgestellte ”<br />
ManhattanDistanz“-Heuristik.<br />
Lösung:<br />
Siehe Abbildung 1.<br />
3
Abbildung 1: 8-Puzzle Suchbaum mit Manhattan Distanz<br />
4
(b) Berechnen sie <strong>für</strong> jeden Zustand aus Aufgabenteil (a) die h- und f-Werte,<br />
jedoch unter Verwendung der ”<br />
Misplaced Tiles“-Heuristik. Wie könnte die<br />
Verwendung dieser Heuristik die Suche beinflussen?<br />
Lösung:<br />
h-Werte (In gleicher Reihenfolge wie in Abb.1):<br />
4<br />
5 3 5<br />
3 3 4 4<br />
2 3 3<br />
1 3<br />
2 0 2<br />
f-Werte:<br />
4<br />
6 4 6<br />
5 5 6 6<br />
5 6 6<br />
5 6<br />
7 5 7<br />
Die Misplaced-Tiles-Heuristik ist ungenauer und weist mehreren Knoten<br />
denselben h-Wert zu (h = 3 in Suchebene 3), deshalb müssen im schlechtesten<br />
Fall mehr Knoten expandiert werden, es kann sein, dass zunächst<br />
ein Teil des Suchbaums exploriert wird, der nicht den optimalen Pfad<br />
beinhaltet.<br />
5