¨Ubungsblatt 2 - Institut für Informatik

Informatik III:
Theoretische Informatik
Prof. Bernhard Nebel
Dr. Stefan Wölfl
Wintersemester 2011
Universität Freiburg
Institut für Informatik
Übungsblatt 2
Abgabe: 7. November 2011
Beachten Sie bitte die umseitig angeführten Definitionen und Hinweise.
Aufgabe 2.1 (Rechnen mit Sprachen; je Teilaufgabe 1 Punkt)
Im Folgenden seien L,L 1 ,L 2 ,L 3 Sprachen über demselben Alphabet Σ. Beweisen oder
widerlegen Sie die folgenden Aussagen. Benennen Sie jeweils auch das Verfahren, das
Sie zum Nachweis Ihrer Behauptung verwenden.
(a) L 1 ·L 2 = L 2 ·L 1
(b) (L 1 ·L 2 )·L 3 = L 1 ·(L 2 ·L 3 )
(c) (L 1 ∩L 2 )·L 3 = (L 1 ·L 3 )∩(L 2 ·L 3 )
(d) Ist L 1 ⊆ L 2 , so gilt auch L 1 ·L ⊆ L 2 ·L und L·L 1 ⊆ L·L 2 .
(e) (L 1 ·L 2 ) R = L R 2 ·LR 1
(f) Ist L 1 ⊆ L 2 , so gilt auch L/L 1 ⊆ L/L 2 .
(g) (L 1 /L 2 )·L 2 = L 1
Aufgabe 2.2 (Kleene-Abschluss; 1+1+2+1+1 Punkte)
Der Kleene-Abschluss einer Sprache L ist die kleinste Sprache, die L als Teilmenge
und das leere Wort als Element enthält und unter Konkatenation abgeschlossen ist.
Beweisen Sie dies, indem Sie zeigen:
(a) L ⊆ L ∗
(b) L ∗ ·L ∗ ⊆ L ∗
(c) Für jede Sprache L ′ (über demselben Alphabet wie L) mit L ⊆ L ′ , ε ∈ L ′ und
L ′ ·L ′ ⊆ L ′ gilt L ∗ ⊆ L ′ .
Beweisen Sie, dass ferner gilt:
(d) (L ∗ ) ∗ = L ∗ (verwenden Sie hierzu die Aussagen (a), (b) und (c)).
(e) Für Sprachen L 1 ,L 2 mit L 1 ⊆ L 2 gilt L ∗ 1 ⊆ L∗ 2 .
Aufgabe 2.3 (Palindrome; 1+1+2+3 Punkte)
Ein Palindrom (über Σ) ist ein Wort w ∈ Σ ∗ mit w R = w. Für ein fest gewähltes
Alphabet Σ, bezeichne P n die Menge der Palindrome der Länge n.
(a) Geben Sie eine rekursive Definition der Mengen P n an.
(b) Beweisen Sie durch Induktion: Ist w ∈ P n ein Palindrom gerader Länge, so ist
die Anzahl jedes Alphabetszeichens, das in w vorkommt, gerade.

(c) Beweisen Sie durch Induktion über n, dass |P n | = |Σ| ⌈n/2⌉ gilt (hierbei bezeichne
⌈x⌉ die kleinste ganze Zahl ≥ x).
(d) Geben Sie eine Grammatik G an, die gerade die Menge aller Palindrome über Σ
erzeugt. Beweisen Sie dies (Sie dürfen verwenden, dass jedes Palindrom der Länge
n > 0 eine Darstellung der Form uu R oder der Form uxu R für ein Wort u und
ein x ∈ Σ hat).
Definitionen und Hinweise: Der Kleene-Abschluss einer Sprache L ist wie folgt definiert:
L ∗ := ⋃ n∈N Ln . Die Quotientensprache zweier Sprachen L und L ′ über demselben Alphabet Σ
ist definiert durch: L/L ′ := {w ∈ Σ ∗ : es gibt ein u ∈ L ′ derart, dass wu ∈ L}. Ist w ein Wort
einer Sprache L, so bezeichne w R das Wort, das man erhält, wenn man w rückwärts schreibt,
d.h., ist w = x 1 ...x n mit x 1 ,...,x n ∈ Σ, so ist w R = x n ...x 1 . Offensichtlich ist ε R = ε und
x R = x für jedes x ∈ Σ. L R ist dann definiert durch L R := {w R ∈ Σ ∗ : w ∈ L}. Eine Sprache
heißt endlich, wenn sie (als Mengen gesehen) endlich viele Elemente besitzt.