Mathematik I ¨Ubungsblatt 12 - Fakultät Informatik/Mathematik ...
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Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Wintersemester 2011/<strong>12</strong><br />
<strong>Fakultät</strong> <strong>Informatik</strong>/<strong>Mathematik</strong><br />
Prof. Dr. B. Jung<br />
Aufgabe 1:<br />
Bestimmen Sie die Asymptoten:<br />
<strong>Mathematik</strong> I<br />
Übungsblatt <strong>12</strong><br />
y 1 = f 1 (x) = x2 + 8<br />
x + 4 , y 2 = f 2 (x) = 2x3 + x 2 + 1<br />
x 2 , y 3 = f 3 (x) = 1 + sin x<br />
+ 2<br />
x<br />
Aufgabe 2:<br />
Gegeben sind die Funktionen<br />
f 1 (x) = e − 1<br />
x 2 , f 2 (x) = 1<br />
sin x , f 3(x) = e 1<br />
x−4 .<br />
Bestimmen Sie jeweils die Stellen, an denen die Funktion nicht definiert ist (Definitionslücken). Berechnen<br />
Sie an diesen Stellen den links- und den rechtsseitigen Grenzwert der Funktion. Entscheiden Sie, ob und ggf.<br />
wie diese Definitionslücken behoben werden können.<br />
Aufgabe 3:<br />
Wo besitzen die folgenden Funktionen Nullstellen, Pole und hebbare Definitionslücken:<br />
a) f 1 (x) = x2 − 2x<br />
2x<br />
b) f 2 (x) = x2 + x − 2<br />
(x − 1) 2 c) f 3 (x) = x3 + x 2 − 2x<br />
x − 2<br />
Aufgabe 4:<br />
Bilden Sie von den folgenden Funktionen jeweils die erste Ableitung (der entstehende Ausdruck ist ggf. zu<br />
vereinfachen):<br />
a) f(x) = x · e x · sin x b) g(t) = 3t2 − 1<br />
c) f(x) = √ sin x<br />
1 + t 2<br />
d) f(x) = √ x + sin(2x) e) g(x) = arcsin(2x) f) h(x) = ln<br />
(x + √ )<br />
1 + x 2<br />
g) f(x) = x cos x (für x > 0) h) f(x) = x x sin x (für x > 0)<br />
Aufgabe 5:<br />
Für folgende Auslenkungen x(t) sind jeweils die Geschwindigkeiten v(t) = ẋ(t) zu bestimmen:<br />
a) x(t) = a · sin(ωt + ϕ) (ungedämpfte Schwingung)<br />
b) x(t) = c · e −δt · sin(ωt + ϕ) (gedämpfte Schwingung)<br />
c) x(t) = c · e −ρt (aperiodische Kriechbewegung)<br />
d) x(t) = c · e −ρt · (1 + ρt) (aperiodischer Grenzfall).<br />
Dabei sind a die Amplitude, ω die Kreisfrequenz, ϕ die Phasenverschiebung und ρ das logarithmische Dekrement,<br />
und es gilt: ω, δ, ρ > 0.<br />
Zusatzaufgabe:<br />
Die Fallgeschwindigkeit v beim freien Fall unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes kann nach der folgenden<br />
Formel berechnet werden:<br />
v(s) =<br />
√<br />
mg<br />
k<br />
(<br />
1 − e − 2ks<br />
m<br />
)<br />
(s ≥ 0),<br />
weiter siehe nächste Seite
wobei s: Fallweg, m: Masse des fallenden Körpers, g: Erdbeschleunigung an der Erdoberfläche,<br />
k: Reibungskoeffizient). Berechnen Sie daraus die Fallbeschleunigung a = a(s) nach der Formel: a = v · dv<br />
ds .<br />
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