Folien 42 - 43 - Fakultät Informatik/Mathematik
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Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer diskreten ZV<br />
- Zufallsexperiment: ”Wurf mit zwei unterscheidbaren homogenen Würfeln”<br />
- Zufallsvariable: X = Erzielte Augensumme (diskrete ZV)<br />
- Tabelle der Einzelwahrscheinlichkeiten:<br />
x i 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12<br />
f(x i )<br />
1<br />
36<br />
2<br />
36<br />
3<br />
36<br />
4<br />
36<br />
5<br />
36<br />
6<br />
36<br />
5<br />
36<br />
4<br />
36<br />
3<br />
36<br />
2<br />
36<br />
1<br />
36<br />
Berechnung des Mittelwertes:<br />
µ = ∑ i<br />
x i · f(x i ) = 2 ·<br />
1<br />
36 + 3 · 2<br />
36 + 4 · 3<br />
36 + . . . + 12 · 1<br />
36 = 252<br />
36 = 7<br />
⇒ Wird eine große Anzahl solcher Zufallsexperimente durchgeführt,<br />
so ”erwartet” man eine durchschnittliche Augensumme von (annähernd) 7.<br />
Berechnung der Varianz:<br />
σ 2<br />
= ∑ i<br />
(x i − µ) 2 · f(x i ) = (2 − 7) 2 ·<br />
1<br />
36 + (3 − 7)2 ·<br />
2<br />
36 + . . . + (12 − 7)2 ·<br />
1<br />
36<br />
= 210<br />
36 = 5.83<br />
Damit gilt für die Standardabweichung: σ = √ 5.83 = 2.<strong>42</strong>.<br />
<strong>Mathematik</strong> III - Folie <strong>42</strong>
Bernoulli-Experiment<br />
- Zufallsexperiment, bei dem ein Ereignis A mit der Wahrscheinlichkeit p<br />
und das zu A komplementäre Ereignis A mit der Wahrscheinlichkeit q = 1 − p<br />
eintritt (d.h. es gibt nur zwei mögliche Ergebnisse)<br />
- Dies gilt auch für jede Wiederholung des Experiments.<br />
- Beispiel: beim Wurf einer homogenen Münze gibt es nur die Ereignisse<br />
A: ”Zahl” und A: ”Wappen”. Sie treten mit den Wahrscheinlichkeiten:<br />
p = P (A) = 1 2 und q = P (A) = 1 − 1 2 = 1 2 auf.<br />
Bernoulli-Experiment vom Umfang n<br />
- mehrstufiges Experiment: n-fache Ausführung eines Bernoulli-Experiments<br />
mit den beiden möglichen Ereignissen A und A<br />
- Ereignis A tritt in jedem der n Teilexperimente mit der gleichen<br />
Wahrscheinlichkeit p auf<br />
- Ergebnisse der einzelnen Stufen voneinander unabhängig<br />
- ein derartiges Experiment wird wird bezeichnet als<br />
Bernoulli-Experiment vom Umfang n<br />
- Zufallsvariable X: Anzahl der Versuche, in denen das Ereignis A bei einem<br />
Bernoulli-Experiment vom Umfang n auftritt<br />
⇒ n kann jeden der Werte 0, 1, 2, . . . n annehmen<br />
- Die Fragestellung: Mit welcher Wahrscheinl. nimmt die ZV X den Wert k an?<br />
führt auf die Binomialverteilung<br />
<strong>Mathematik</strong> III - Folie <strong>43</strong>