Folien 42 - 43 - Fakultät Informatik/Mathematik

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer diskreten ZV
- Zufallsexperiment: ”Wurf mit zwei unterscheidbaren homogenen Würfeln”
- Zufallsvariable: X = Erzielte Augensumme (diskrete ZV)
- Tabelle der Einzelwahrscheinlichkeiten:
x i 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
f(x i )
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
Berechnung des Mittelwertes:
µ = ∑ i
x i · f(x i ) = 2 ·
1
36 + 3 · 2
36 + 4 · 3
36 + . . . + 12 · 1
36 = 252
36 = 7
⇒ Wird eine große Anzahl solcher Zufallsexperimente durchgeführt,
so ”erwartet” man eine durchschnittliche Augensumme von (annähernd) 7.
Berechnung der Varianz:
σ 2
= ∑ i
(x i − µ) 2 · f(x i ) = (2 − 7) 2 ·
1
36 + (3 − 7)2 ·
2
36 + . . . + (12 − 7)2 ·
1
36
= 210
36 = 5.83
Damit gilt für die Standardabweichung: σ = √ 5.83 = 2.42.
Mathematik III - Folie 42

Bernoulli-Experiment
- Zufallsexperiment, bei dem ein Ereignis A mit der Wahrscheinlichkeit p
und das zu A komplementäre Ereignis A mit der Wahrscheinlichkeit q = 1 − p
eintritt (d.h. es gibt nur zwei mögliche Ergebnisse)
- Dies gilt auch für jede Wiederholung des Experiments.
- Beispiel: beim Wurf einer homogenen Münze gibt es nur die Ereignisse
A: ”Zahl” und A: ”Wappen”. Sie treten mit den Wahrscheinlichkeiten:
p = P (A) = 1 2 und q = P (A) = 1 − 1 2 = 1 2 auf.
Bernoulli-Experiment vom Umfang n
- mehrstufiges Experiment: n-fache Ausführung eines Bernoulli-Experiments
mit den beiden möglichen Ereignissen A und A
- Ereignis A tritt in jedem der n Teilexperimente mit der gleichen
Wahrscheinlichkeit p auf
- Ergebnisse der einzelnen Stufen voneinander unabhängig
- ein derartiges Experiment wird wird bezeichnet als
Bernoulli-Experiment vom Umfang n
- Zufallsvariable X: Anzahl der Versuche, in denen das Ereignis A bei einem
Bernoulli-Experiment vom Umfang n auftritt
⇒ n kann jeden der Werte 0, 1, 2, . . . n annehmen
- Die Fragestellung: Mit welcher Wahrscheinl. nimmt die ZV X den Wert k an?
führt auf die Binomialverteilung
Mathematik III - Folie 43