Ubungsblatt 13 - Fakultät Informatik/Mathematik - Hochschule für ...
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<strong>Hochschule</strong> <strong>für</strong> Technik und Wirtschaft Dresden Sommersemester 2011<br />
Fachkultät <strong>Informatik</strong>/<strong>Mathematik</strong><br />
Prof. Dr. B. Jung<br />
<strong>Mathematik</strong> II<br />
Übungsblatt <strong>13</strong><br />
Aufgabe 1:<br />
Ein Blech der Breite b soll durch Hochbiegen der seitlichen Enden zu einer trapezförmigen Rinne (gleichschenkliges<br />
Trapez) mit möglichst großem Querschnitt A verformt werden. Mit welcher Länge x und unter<br />
welchem Winkel α müssen die Enden abgebogen werden?<br />
Aufgabe 2:<br />
Berechnen Sie die Scheitelpunkte der Ellipse x 2 + xy + y 2 = 5 (d.h. die Punkte mit größtem oder kleinstem<br />
Abstand zum Koordinatenursprung) .<br />
Aufgabe 3:<br />
Bestimmen Sie die extremwertverdächtigen Stellen der Funktion f(x, y) = x 2 + y 2 unter der Nebenbedingung<br />
x 3 + y 3 + 1 = 0 . Dabei ist die Lagrange-Methode zu verwenden.<br />
Zusatz: Weisen Sie nach, dass tatsächlich Extrema vorliegen.<br />
Aufgabe 4:<br />
Lösen Sie die folgenden exakten Differentialgleichungen (vorher: Überprüfung der Integrabilitätsbedingung):<br />
a) (2xe y − 1) dx + x 2 e y dy = 0<br />
b) (3x 2 y − 1) dx + (x 3 + 2y sin(2y)) dy = 0<br />
Aufgabe 5:<br />
Ein Thermistor oder Heißleiter ist ein Halbleiter, dessen elektrischer Widerstand R mit zunehmender absoluter<br />
Temperatur T nach der Gleichung<br />
R(T ) = A · e B T<br />
stark abnimmt. Bestimmen Sie mit den Methoden der Ausgleichsrechnung die Parameter A und B <strong>für</strong> einen<br />
Heißleiter, bei dem die folgenden Messwerte gefunden wurden:<br />
T [K] 293.15 3<strong>13</strong>.15 333.15 353.15 373.15<br />
R[Ω] 510 290 178 120 80<br />
Hinweis: Logarithmieren Sie beide Seiten der Gleichung, führen Sie geeignete Hilfsvariable ein und berechnen<br />
Sie dann die entsprechende Ausgleichsgerade.<br />
Aufgabe 6:<br />
Gegeben seien 6 Punkte der Ebene laut Tabelle:<br />
x -2 0 3 4 6 9<br />
y -33 -18 0 2 8 16<br />
Gesucht ist die Ausgleichsparabel zu diesen Punkten.
Ergebnisse<br />
Dezimalzahlen sind jeweils auf drei Nachkommastellen gerundet.<br />
Aufgabe 1: x = b 3 , α = 60◦<br />
Aufgabe 2: Scheitelpunkte:<br />
(√ √ (√ √ 5<br />
3 , 5 5<br />
, −<br />
3)<br />
3 , − 5<br />
, (<br />
3) √ 5, − √ 5), (− √ 5, √ 5)<br />
Aufgabe 3: extremwertverdächtige Stellen: (0, −1), (−1, 0),<br />
(<br />
)<br />
− √ 1 , − 1 3 3<br />
2 √ 2<br />
Aufgabe 4:<br />
a) x 2 e y − x = C (C ∈ R)<br />
b) x 3 y − x − y cos(2y) + 1 2<br />
sin(2y) = C (C ∈ R)<br />
Aufgabe 5: A = 0.095, B = 2515.353<br />
Aufgabe 6: Koeffizienten in der Parabelgleichung: a 0 = −18.364, a 1 = 6.467, a 2 = −0.302<br />
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