Lösungen der Hausaufgaben : ” HM“, 1/3
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<strong>Lösungen</strong> <strong>der</strong> <strong>Hausaufgaben</strong> : <strong>”</strong><br />
<strong>HM“</strong>, 1/3<br />
1. (i1) s n = (n+1)(1,5n+1)<br />
n 2 , (i2) s n = 1<br />
30 − 5 6<br />
2. z 1,2 = −1 ± i .<br />
( )<br />
−<br />
1 n+1<br />
5 =<br />
1<br />
30 + 1 6<br />
3. (i) z 1 = 5 · e 0,9273·i , z 2 = √ 13e −0,9828·i .<br />
(ii) z 3 = 1 5 + 2 5 i, z 4 = −1, 3073 − 1, 5136 · i, z 5 = −1, z 7 = −4 − 4i.<br />
4. (i) ∞ , (ii) e 2 , (iii) 0 .<br />
( )<br />
−<br />
1 n<br />
5 . (ii1)<br />
3<br />
2 , (ii2) 1<br />
30 .<br />
5. (i) D = R \ {−3; 0; 2} .<br />
(ii) Nullstellen: x n1 = x n2 = −1 ,<br />
Polstellen: x p1 = 0, x p2 = 2 ,<br />
Asymptote: y = g(x) = x + 7 .<br />
(iii) Unstetigkeitsstellen:<br />
x = −3 ; lim x↗−3 = lim x↘−3 = 0 =⇒<br />
Lücke,<br />
x p1 = 0 ; lim x↗0 = ∞, lim x↘0 = −∞ =⇒<br />
Polstelle,<br />
x p2 = 2 ; lim x↗2 = −∞, lim x↘2 = ∞ =⇒<br />
Polstelle.<br />
40<br />
-4 -3 -2 -1<br />
0.3<br />
0.2<br />
0.1<br />
-0.1<br />
-0.2<br />
20<br />
-10 -5 5 10 15<br />
-20<br />
-40<br />
1
6. 7.<br />
2<br />
(x − 4) 2 + 1 4 (y + 1)2 = 1, x ∈ [3; 5], y ∈ [−1; 1]<br />
=⇒ Halb-Ellipse<br />
1<br />
1<br />
0.75<br />
-0.5 0.5<br />
-1<br />
0.5<br />
0.25<br />
-0.25<br />
-0.5<br />
-0.75<br />
-1<br />
3.5 4 4.5 5<br />
-2<br />
( ) ( 1 2<br />
3<br />
)<br />
8. i) A =<br />
⃗a = 2 a<br />
2 1<br />
2 00 = −1<br />
Eigenwerte von A : λ 1 = −1, ( λ 2 = ) 3 =⇒ es( Mittelpunkt ) existiert Mittelpunkt M<br />
1 1<br />
Eigenvelktoren von A : ⃗x 1 = , ⃗x<br />
−1 2 = , M = M(− 5<br />
1<br />
6 ; − 1 3 )<br />
λ 1 < 0, λ 2 > 0, a 0 ≠ 0 =⇒ Hyperbel<br />
( ) ( )<br />
9 −12<br />
−65<br />
ii) A =<br />
⃗a =<br />
a<br />
−12 16<br />
45<br />
00 = 175<br />
Eigenwerte von A : λ 1 = 0, ( λ 2 = ) 25 =⇒ ( es existiert ) kein Mittelpunkt M<br />
4 −3<br />
Eigenvelktoren von A : ⃗x 1 = , ⃗x<br />
3 2 = , Parabel<br />
4<br />
2
10<br />
7.5<br />
5<br />
2.5<br />
4<br />
2<br />
-6 -4 -2 2 4 6<br />
-2.5<br />
1 2 3 4 5<br />
-5<br />
-7.5<br />
-2<br />
-10<br />
3