Lösungen der Hausaufgaben : ” HM“, 1/3

Lösungen der Hausaufgaben : ”
HM“, 1/3
1. (i1) s n = (n+1)(1,5n+1)
n 2 , (i2) s n = 1
30 − 5 6
2. z 1,2 = −1 ± i .
( )
−
1 n+1
5 =
1
30 + 1 6
3. (i) z 1 = 5 · e 0,9273·i , z 2 = √ 13e −0,9828·i .
(ii) z 3 = 1 5 + 2 5 i, z 4 = −1, 3073 − 1, 5136 · i, z 5 = −1, z 7 = −4 − 4i.
4. (i) ∞ , (ii) e 2 , (iii) 0 .
( )
−
1 n
5 . (ii1)
3
2 , (ii2) 1
30 .
5. (i) D = R \ {−3; 0; 2} .
(ii) Nullstellen: x n1 = x n2 = −1 ,
Polstellen: x p1 = 0, x p2 = 2 ,
Asymptote: y = g(x) = x + 7 .
(iii) Unstetigkeitsstellen:
x = −3 ; lim x↗−3 = lim x↘−3 = 0 =⇒
Lücke,
x p1 = 0 ; lim x↗0 = ∞, lim x↘0 = −∞ =⇒
Polstelle,
x p2 = 2 ; lim x↗2 = −∞, lim x↘2 = ∞ =⇒
Polstelle.
40
-4 -3 -2 -1
0.3
0.2
0.1
-0.1
-0.2
20
-10 -5 5 10 15
-20
-40
1

6. 7.
2
(x − 4) 2 + 1 4 (y + 1)2 = 1, x ∈ [3; 5], y ∈ [−1; 1]
=⇒ Halb-Ellipse
1
1
0.75
-0.5 0.5
-1
0.5
0.25
-0.25
-0.5
-0.75
-1
3.5 4 4.5 5
-2
( ) ( 1 2
3
)
8. i) A =
⃗a = 2 a
2 1
2 00 = −1
Eigenwerte von A : λ 1 = −1, ( λ 2 = ) 3 =⇒ es( Mittelpunkt ) existiert Mittelpunkt M
1 1
Eigenvelktoren von A : ⃗x 1 = , ⃗x
−1 2 = , M = M(− 5
1
6 ; − 1 3 )
λ 1 < 0, λ 2 > 0, a 0 ≠ 0 =⇒ Hyperbel
( ) ( )
9 −12
−65
ii) A =
⃗a =
a
−12 16
45
00 = 175
Eigenwerte von A : λ 1 = 0, ( λ 2 = ) 25 =⇒ ( es existiert ) kein Mittelpunkt M
4 −3
Eigenvelktoren von A : ⃗x 1 = , ⃗x
3 2 = , Parabel
4
2

10
7.5
5
2.5
4
2
-6 -4 -2 2 4 6
-2.5
1 2 3 4 5
-5
-7.5
-2
-10
3