Komplexe Form einer Fourier-Reihe - Fakultät Informatik/Mathematik

Richter, M.: Grundwissen Mathematik für Ingenieure, Ergänzungen 2
und durch Subtraktion
e iϕ − e −iϕ = 2i sin(ϕ) =⇒
sin(ϕ) = eiϕ − e −iϕ
2i
= −i sinh(iϕ)
folgen. Mit den gerahmten Formeln lassen sich die folgenden Beziehungen zwischen
den Fourier-Koeffizienten überprüfen.
Satz: Für die Fourier-Koeffizienten gilt für jedes k ∈ N
a k − ib k = 2 · c k und a k + ib k = 2 · c −k bzw.
a k = c k + c −k und b k = i(c k − c −k ),
wobei b 0 = 0 zu setzen ist. Weiterhin gilt
s n (x) = a 0
2 + n∑
k=1
( ( 2kπ
) ( 2kπ
))
a k·cos
p x +b k·sin
p x =
n∑
k=−n
c k·e i 2kπ
p x , x ∈ R .
Beweis:
b k = 2 p
∫ p
0
( 2kπ
)
f(x) · sin
p x dx = 2 p
= 1 i (c −k − c k ) = i(c k − c −k )
∫ p
0
f(x) · 1
2i
(e i 2kπ
p x − e
2kπ
−i p
x)) dx
Analog zeigt man die anderen Beziehungen.
◭
Die komplexe Form der Fourier-Reihe (9.29’) stimmt mit (9.29) überein. Für die
komplexe Form der Fourier-Reihe gelten ebenfalls die Sätze 9.8 bis 9.10 (Seiten 309
ff.).
Beispiel: Gesucht ist die Fourier-Reihe der Funktion
f(x) = e −x für 0 ≤ x < 2, f(x) = f(x + 2) , x ∈ R.
Lösung: Aus
c k = 1 2
∫ 2
0
e −x · e −ikπx dx = 1 2
∫ 2
0
e −x(1+ikπ) 1 (
dx = −
e −2(1+ikπ) − 1 )
2(1 + ikπ)
= 1 − e−2
2(1 + ikπ) = (1 − ikπ) (1 − e−2 )
, k ∈ Z, c
2(1 + k 2 π 2 0 = 1 − e−2
)
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