Folien 67a - Fakultät Informatik/Mathematik

Feststellung der Korrelation zweier Zufallsvariabler X und Y
• Entnahme einer Stichprobe vom Umfang n aus der zweidimensionalen
Grundgesamtheit ⇒ n geordnete Wertepaare
(x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ), . . . , (x n ; y n )
• Darstellung dieser Wertepaare in einem rechtwinkligen kartesischen
Koordinatensystem (”Punktwolke” im Streuungsdiagramm)
• Kennzeichnung des Zusammenhangs zwischen den beiden Zufallsvariablen
X und Y mit Hilfe der beiden Kennwerte:
empirische Kovarianz: s xy = 1 n∑
n − 1 · (x i − x)(y i − y)
empirischer Korrelationskoeffizient: r = s xy
s x · s y
,
wobei: x = 1 n ·
n∑
i=1
• äquivalente Formeln:
x i , y = 1 n ·
n∑
i=1
( n∑
)
s xy = 1
n − 1 · x i y i − n x y
i=1
y i , s 2 x = 1
n−1 ·
, r =
i=1
n∑
(x i − x) 2 , s 2 y = 1
i=1
√ ( n ∑
i=1
n∑
i=1
x i y i − nx y
x 2 i − n x2 ) ( n ∑
i=1
n−1 ·
i=1
y 2 i − n y2 )
n∑
(y i − y) 2
Mathematik III - Folie 67a

Feststellung der Korrelation zweier Zufallsvar. X und Y (Fortsetzung)
Für den empirischen Korrelationskoeffizienten r gilt: −1 ≤ r ≤ 1. Aus der Größe
von r können folgende Schlussfolgerungen gezogen werden:
• Wenn sich r nur geringfügig von 1 oder -1 unterscheidet, liegen die Stichprobenpunkte
(x i , y i ) nahezu auf einer Geraden (siehe Bild 1).
• Falls |r| = 1 gilt, liegen die Stichprobenpunkte exakt auf einer Geraden.
Es besteht eine exakte lineare Abhängigkeit zwischen den Zufallsvariablen
X und Y . Für r = 1 hat die Gerade einen positiven Anstieg (siehe Bild 2a)),
für r = −1 einen negativen Anstieg (siehe Bild 2b)).
• Falls r = 0 gilt, besteht zwischen den Zufallsvariablen X und Y
kein linearer Zusammenhang. Das bedeutet aber nicht, dass diese Zufallsvariablen
stochastisch unabhängig sind.
y
✻
✉ ✉ ✉ ✉ ✉ ✉
y
✻
✉
✉
✉
✉
✉ ✉
y
✻
❙✉
❙ ✉
❙
❙✉
❙
❙
❙✉
❙ ✉
❙
❙
✉
❙
✲
x
✲
x
✲
x
Bild 1
Bild 2a
Bild 2b
Mathematik III - Folie 67b

Ein Beispiel zur Berechnung der empirischen Kovarianz und des
empirischen Korrelationskoeffizienten
Die Jahresproduktion einer Baufirma wird als Zufallsvariable X und die Jahresgesamtkosten
dieser Firma als Zufallsvariable Y aufgefasst. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung
dieser ZV ist nicht bekannt. Auf insgesamt n = 10 Baustellen
wurden folgende Daten erfasst:
Baustelle i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Jahresprod. (in 10 4 EUR) 12 15 18 18 20 21 24 25 36 37
Jahresgesamtk. (in 10 4 EUR) 11 12 16 17 18 18 20 21 26 31
Es gilt: x = 1
10
s 2 x = 1 9
s xy = 1 9
10∑
i=1
10∑
i=1
x i = 22.6, y = 1
10
10∑
i=1
y i = 19.0
(x i − 22.6) 2 = 68.5, s 2 y = 1 9
( 10 ∑
i=1
x i y i − 10 · 22.6 · 19.0
)
10∑
i=1
(y i − 19.0) 2 = 36.2
= 48.6667, r = 48.6667
√
68.5 ·
√
36.2
= 0.9771
Berechnung der Regressionsgeraden:
Regressionskoeffizient: a = r · sy
s x
= 0.9771 ·
√
36.2
√
68.5
= 0.7106,
Berechnung von b: b = 19.0 − 0.7106 · 22.6 = 2.941
⇒ Regressionsgerade: y = 0.7106 · x + 2.941
Mathematik III - Folie 68