Ubungsaufgaben zu Kapitel 1 und 2 - Fakultät Informatik/Mathematik ...

Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Wintersemester 2010/11
Fachbereich Informatik/Mathematik
Prof. Dr. B. Jung
Übungsaufgaben zu Kapitel 1 und 2
Aufgabe 1:
Vereinfachen Sie die folgenden komplexen Ausdrücke so weit wie möglich (Angabe in arithmetischer Form):
z 1 =
(6 + j)(3 − 2j)
1 + 2j
, z 2 =
(5 + j)(2 − j)
1 + 4j
, z 3 = e −1+j · e 2+2j
Aufgabe 2:
a) Berechnen Sie:
( 1
4 + j ) 10
und (1 − √ 3 j) 5 .
b) Berechnen Sie jeweils alle komplexen Lösungen der folgenden Gleichungen: z 6 = 3 + 4j und
z 3 = 3 − √ 3 j.
Aufgabe 3:
Gegeben ist die komplexe Zahl z = a + bj. Berechnen Sie:
z · z ∗ ,
z
z ∗
und
z ∗
z .
Aufgabe 4:
Gegeben sind: w 1 = 1.5 − 0.5j und w 2 = 3 + 0.5j.
w
a) Berechnen Sie den Ausdruck: 1 · w 2
w 1 + w 2
b) Lösen Sie die Gleichung: z 3 = w 2
w 1
.
Aufgabe 5:
a) Sei z 1 = 6 + 5j und z 2 = α + βj (α, β: beliebige reelle Zahlen). Unter welcher Bedingung an α und β
ist das Produkt z 1 · z 2 eine reelle Zahl?
b) Sei z ∗ 2 die zu z 2 konjugiert-komplexe Zahl. Unter welcher Bedingung an α und β ist das Produkt z 1 · z ∗ 2
eine reelle Zahl?
Aufgabe 6:
Gegeben seien der Punkt P 1 (2; 1; 0) und die Gerade g : ⃗r(λ) = ⎝
⎛
1
0
0
⎞
⎛
⎠ + λ ⎝
Stellen Sie die Gleichung der Ebene E, welche durch P 1 verläuft und die Gerade g enthält, auf (Parameterform
und parameterfreie Form).
Aufgabe 7:
Berechnen Sie das Volumen und den Oberflächeninhalt des Spates, der von den Vektoren
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−3
⃗a = ⎝ 5 ⎠ , ⃗ 3
10
b = ⎝ 4 ⎠ und ⃗c = ⎝ −6 ⎠
7
15
3
aufgespannt wird.
0
1
0
⎞
⎠ .
weiter siehe S. 2

Aufgabe 8:
⎛
Gegeben sind die Vektoren ⃗a = ⎝
1
2
−5
⎞
⎛
⎠ und ⃗ b = ⎝
a) Wie lautet eine Gleichung der von ⃗a und ⃗ b aufgespannten Ebene E, die den Nullpunkt enthält?
b) Bestimmen Sie einen in der Ebene E verlaufenden Einheitsvektor, der senkrecht auf ⃗a steht.
Aufgabe 9:
Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene E:
⎛ ⎞
3
⎛ ⎞
1
g : ⃗r(λ) = ⎝ 2 ⎠ + λ ⎝ 2 ⎠ , E : ⃗n · (⃗r − ⃗r 0 ) = 2(x − 1) + (y − 2) + (z + 3) = 0 .
0 −3
Zeigen Sie, dass die Gerade und die Ebene sich schneiden und berechnen Sie den Schnittpunkt sowie den
Schnittwinkel.
Aufgabe 10:
Die Gerade g sei durch die beiden Punkte P 1 (1; 1; 1) und P 2 (−1; 3; 2) gegeben. Außerdem sei P 0 (−2; 5; 8).
a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden h, die durch den Punkt P 0 und senkrecht zu g verläuft.
b) Vom Punkt P 0 wird das Lot auf die Gerade g gefällt. Berechnen Sie den Fußpunkt S des Lotes.
1
−2
−1
⎞
⎠.
Ergebnisse
Hinweis: Dezimalzahlen sind auf drei Nachkommastellen gerundet angegeben.
Aufgabe 1:
z 1 = 0.4 − 9.8j , z 2 = −0.059 − 2.765j , z 3 = −2.691 + 0.384j
Aufgabe 2:
( 1
) 10
a)
4 + j √
= 1.043 + 0.864j , (1 − 3 j) 5 = 16 + 16 √ 3j
b) z 6 = 3 + 4j hat insgesamt 6 Lösungen:
z 1 = 1.292 + 0.201j , z 2 = 0.472 + 1.22j , z 3 = −0.82 + 1.018j ,
z 4 = −1.292 − 0.201j , z 5 = −0.472 − 1.22j , z 6 = 0.82 − 1.018j
z 3 = 3 − √ 3 j hat insgesamt 6 Lösungen:
z 0 = −0.518 + 1.422j , z 1 = −0.973 − 1.159j , z 2 = 1.49 − 0.263j
Aufgabe 3:
z · z ∗ = a 2 + b 2 ,
z
z ∗ = a2 − b 2
a 2 + b 2 + j 2ab
a 2 + b 2
und
z ∗
z = a2 − b 2
a 2 + b 2 − j 2ab
a 2 + b 2 .
Aufgabe 4:
a) 1.055 − 0.167j
b) insgesamt 3 Lösungen:
z 0 = 1.227 + 0.201j , z 1 = −0.788 + 0.962j , z 2 = −0.44 − 1.163j
Aufgabe 5:
a) Für β = − 5 6 α ist das Produkt z 1 · z 2 eine reelle Zahl.
b) Für β = 5 6 α ist das Produkt z 1 · z ∗ 2
eine reelle Zahl.
2

Im weiteren bezeichnen λ und µ reelle Konstante.
Aufgabe 6:
⎛
E : ⃗r(λ, µ) = ⎝
2
1
0
⎞
⎛
⎠ + λ ⎝
0
1
0
⎞
⎛
⎠ + µ ⎝
−1
−1
0
⎞
⎠ , parameterfrei: z = 0 .
Aufgabe 7:
V = 7 [VE], A O = 742.76 [FE]
Aufgabe 8:
⎛
a) E : ⃗r(λ, µ) = ⎝
0
0
0
⎞
⎛
⎠ + λ ⎝
⎛
b) gesuchter Vektor: ⃗e = √ 1 ⎝
330
1
2
−5
−7
16
5
⎞
⎛
⎠ + µ ⎝
⎞
1
−2
−1
⎠ (oder: −⃗e )
Aufgabe 9:
Schnittpunkt: S(−4; −12; 21), Schnittwinkel: ϕ = 6.264 ◦
⎞
⎠
Aufgabe 10:
⎛
g : ⃗r(λ) = ⎝
−2
5
8
⎞
⎛
⎠ + λ ⎝
5
−2
14
⎞
⎠ , S(− 11 3 ; 17 3 ; 10 3 ) 3