Ubungsaufgaben zu Kapitel 1 und 2 - Fakultät Informatik/Mathematik ...
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Hochschule für Technik <strong>und</strong> Wirtschaft Dresden Wintersemester 2010/11<br />
Fachbereich <strong>Informatik</strong>/<strong>Mathematik</strong><br />
Prof. Dr. B. Jung<br />
Übungsaufgaben <strong>zu</strong> <strong>Kapitel</strong> 1 <strong>und</strong> 2<br />
Aufgabe 1:<br />
Vereinfachen Sie die folgenden komplexen Ausdrücke so weit wie möglich (Angabe in arithmetischer Form):<br />
z 1 =<br />
(6 + j)(3 − 2j)<br />
1 + 2j<br />
, z 2 =<br />
(5 + j)(2 − j)<br />
1 + 4j<br />
, z 3 = e −1+j · e 2+2j<br />
Aufgabe 2:<br />
a) Berechnen Sie:<br />
( 1<br />
4 + j ) 10<br />
<strong>und</strong> (1 − √ 3 j) 5 .<br />
b) Berechnen Sie jeweils alle komplexen Lösungen der folgenden Gleichungen: z 6 = 3 + 4j <strong>und</strong><br />
z 3 = 3 − √ 3 j.<br />
Aufgabe 3:<br />
Gegeben ist die komplexe Zahl z = a + bj. Berechnen Sie:<br />
z · z ∗ ,<br />
z<br />
z ∗<br />
<strong>und</strong><br />
z ∗<br />
z .<br />
Aufgabe 4:<br />
Gegeben sind: w 1 = 1.5 − 0.5j <strong>und</strong> w 2 = 3 + 0.5j.<br />
w<br />
a) Berechnen Sie den Ausdruck: 1 · w 2<br />
w 1 + w 2<br />
b) Lösen Sie die Gleichung: z 3 = w 2<br />
w 1<br />
.<br />
Aufgabe 5:<br />
a) Sei z 1 = 6 + 5j <strong>und</strong> z 2 = α + βj (α, β: beliebige reelle Zahlen). Unter welcher Bedingung an α <strong>und</strong> β<br />
ist das Produkt z 1 · z 2 eine reelle Zahl?<br />
b) Sei z ∗ 2 die <strong>zu</strong> z 2 konjugiert-komplexe Zahl. Unter welcher Bedingung an α <strong>und</strong> β ist das Produkt z 1 · z ∗ 2<br />
eine reelle Zahl?<br />
Aufgabe 6:<br />
Gegeben seien der Punkt P 1 (2; 1; 0) <strong>und</strong> die Gerade g : ⃗r(λ) = ⎝<br />
⎛<br />
1<br />
0<br />
0<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ + λ ⎝<br />
Stellen Sie die Gleichung der Ebene E, welche durch P 1 verläuft <strong>und</strong> die Gerade g enthält, auf (Parameterform<br />
<strong>und</strong> parameterfreie Form).<br />
Aufgabe 7:<br />
Berechnen Sie das Volumen <strong>und</strong> den Oberflächeninhalt des Spates, der von den Vektoren<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
−3<br />
⃗a = ⎝ 5 ⎠ , ⃗ 3<br />
10<br />
b = ⎝ 4 ⎠ <strong>und</strong> ⃗c = ⎝ −6 ⎠<br />
7<br />
15<br />
3<br />
aufgespannt wird.<br />
0<br />
1<br />
0<br />
⎞<br />
⎠ .<br />
weiter siehe S. 2
Aufgabe 8:<br />
⎛<br />
Gegeben sind die Vektoren ⃗a = ⎝<br />
1<br />
2<br />
−5<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ <strong>und</strong> ⃗ b = ⎝<br />
a) Wie lautet eine Gleichung der von ⃗a <strong>und</strong> ⃗ b aufgespannten Ebene E, die den Nullpunkt enthält?<br />
b) Bestimmen Sie einen in der Ebene E verlaufenden Einheitsvektor, der senkrecht auf ⃗a steht.<br />
Aufgabe 9:<br />
Gegeben sind eine Gerade g <strong>und</strong> eine Ebene E:<br />
⎛ ⎞<br />
3<br />
⎛ ⎞<br />
1<br />
g : ⃗r(λ) = ⎝ 2 ⎠ + λ ⎝ 2 ⎠ , E : ⃗n · (⃗r − ⃗r 0 ) = 2(x − 1) + (y − 2) + (z + 3) = 0 .<br />
0 −3<br />
Zeigen Sie, dass die Gerade <strong>und</strong> die Ebene sich schneiden <strong>und</strong> berechnen Sie den Schnittpunkt sowie den<br />
Schnittwinkel.<br />
Aufgabe 10:<br />
Die Gerade g sei durch die beiden Punkte P 1 (1; 1; 1) <strong>und</strong> P 2 (−1; 3; 2) gegeben. Außerdem sei P 0 (−2; 5; 8).<br />
a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden h, die durch den Punkt P 0 <strong>und</strong> senkrecht <strong>zu</strong> g verläuft.<br />
b) Vom Punkt P 0 wird das Lot auf die Gerade g gefällt. Berechnen Sie den Fußpunkt S des Lotes.<br />
1<br />
−2<br />
−1<br />
⎞<br />
⎠.<br />
Ergebnisse<br />
Hinweis: Dezimalzahlen sind auf drei Nachkommastellen ger<strong>und</strong>et angegeben.<br />
Aufgabe 1:<br />
z 1 = 0.4 − 9.8j , z 2 = −0.059 − 2.765j , z 3 = −2.691 + 0.384j<br />
Aufgabe 2:<br />
( 1<br />
) 10<br />
a)<br />
4 + j √<br />
= 1.043 + 0.864j , (1 − 3 j) 5 = 16 + 16 √ 3j<br />
b) z 6 = 3 + 4j hat insgesamt 6 Lösungen:<br />
z 1 = 1.292 + 0.201j , z 2 = 0.472 + 1.22j , z 3 = −0.82 + 1.018j ,<br />
z 4 = −1.292 − 0.201j , z 5 = −0.472 − 1.22j , z 6 = 0.82 − 1.018j<br />
z 3 = 3 − √ 3 j hat insgesamt 6 Lösungen:<br />
z 0 = −0.518 + 1.422j , z 1 = −0.973 − 1.159j , z 2 = 1.49 − 0.263j<br />
Aufgabe 3:<br />
z · z ∗ = a 2 + b 2 ,<br />
z<br />
z ∗ = a2 − b 2<br />
a 2 + b 2 + j 2ab<br />
a 2 + b 2<br />
<strong>und</strong><br />
z ∗<br />
z = a2 − b 2<br />
a 2 + b 2 − j 2ab<br />
a 2 + b 2 .<br />
Aufgabe 4:<br />
a) 1.055 − 0.167j<br />
b) insgesamt 3 Lösungen:<br />
z 0 = 1.227 + 0.201j , z 1 = −0.788 + 0.962j , z 2 = −0.44 − 1.163j<br />
Aufgabe 5:<br />
a) Für β = − 5 6 α ist das Produkt z 1 · z 2 eine reelle Zahl.<br />
b) Für β = 5 6 α ist das Produkt z 1 · z ∗ 2<br />
eine reelle Zahl.<br />
2
Im weiteren bezeichnen λ <strong>und</strong> µ reelle Konstante.<br />
Aufgabe 6:<br />
⎛<br />
E : ⃗r(λ, µ) = ⎝<br />
2<br />
1<br />
0<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ + λ ⎝<br />
0<br />
1<br />
0<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ + µ ⎝<br />
−1<br />
−1<br />
0<br />
⎞<br />
⎠ , parameterfrei: z = 0 .<br />
Aufgabe 7:<br />
V = 7 [VE], A O = 742.76 [FE]<br />
Aufgabe 8:<br />
⎛<br />
a) E : ⃗r(λ, µ) = ⎝<br />
0<br />
0<br />
0<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ + λ ⎝<br />
⎛<br />
b) gesuchter Vektor: ⃗e = √ 1 ⎝<br />
330<br />
1<br />
2<br />
−5<br />
−7<br />
16<br />
5<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ + µ ⎝<br />
⎞<br />
1<br />
−2<br />
−1<br />
⎠ (oder: −⃗e )<br />
Aufgabe 9:<br />
Schnittpunkt: S(−4; −12; 21), Schnittwinkel: ϕ = 6.264 ◦<br />
⎞<br />
⎠<br />
Aufgabe 10:<br />
⎛<br />
g : ⃗r(λ) = ⎝<br />
−2<br />
5<br />
8<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ + λ ⎝<br />
5<br />
−2<br />
14<br />
⎞<br />
⎠ , S(− 11 3 ; 17 3 ; 10 3 ) 3