Mengenlehre

Mengenlehre
Betrachtet werden nur Elemente bzw. Teilmengen einer (hinreichend
umfassenden) sogenannten Grundmenge.
Mengenverknüpfungen
Gleichheit M : (x
M x M )
M1 2 x 1 2
Inklusion M : (x
M x M )
M1 2 x 1 2
M 1 ist Teilmenge von M 2 (in der Literatur auch mit bezeichnet).
A B
Durchschnitt A B : {x | x
A x B}
Vereinigung A B : {x | x
A x B}
Differenz A B : {x | x
A x B}
A
A
B
B
Komplementärmenge bezüglich einer Grundmenge E:
A : E A
Ausgewählte Rechenregeln
1) Vereinigung und Durchschnitt sind kommutativ und assoziativ.
2) Für eine Indexmenge I, z.B. {1, 2, 3, ... , n}, N werden erklärt:
Ai : {x | i
I x
Ai
} , Ai : {x | i
I x
Ai
}
iI
iI
3) A B B A A B A A B B
Relationen
Mengen-Produkte
M1 M2
{(x1,x2) | x1
M1
x2
M2}
(Menge geordneter Paare)
M1 ... Mn
{(x1,
... , xn
) | x1
M1,
... , xn
Mn
} (Menge geordneter n-Tupel)
Eine Teilmenge T von M1 M2
heißt (binäre) Relation.
Eigenschaften binärer Relationen
Eine Relation T in M M heißt
a) reflexiv, wenn ( x,x) T ,
b) symmetrisch, wenn ( x,y) T (y,x) T ,
c) antisymmetrisch, wenn (( x,y) T (y,x) T) x y ,
d) asymmetrisch, wenn ( x,y) T (y,x) T ,
e) transitiv, wenn (( x,y) T (y,z) T) (x,z) T ,
jeweils für alle x, y, z M gilt.
- 1 -

Wichtige Relationen
1) Eine Relation T M M heißt Äquivalenzrelation auf M, wenn sie reflexiv,
symmetrisch und transitiv ist.
2) Eine Relation T M M heißt Ordnungsrelation auf M, wenn sie reflexiv,
antisymmetrisch und transitiv ist. Eine Ordnungsrelation heißt vollständig
oder linear, wenn für alle x, y M gilt ( x,y) T (y,x) T .
3) Es seien T1 M1
M2
und T2 M2
M3
binäre Relationen. Die Relation
T1 T2
: {(x,z) M1
M3
| yM
(x,y) T1
(y,z) T2
}
2
heißt Komposition oder Verkettung.
4) Eine Relation f X Y , bei der zu jedem x X genau ein y Y mit (x, y) f
gehört, heißt Funktion (Abbildung) von X in Y.
Y
Schreibweise f | X Y.
Wb(f)
f
X =: Db(f) ... Definitionsbereich
Wb(f):= { y Y | x X (x, y) f}
... Wertebereich
Schreibweise. y=f(x), x Db(f)
X=Db(f)
Eine Abbildung heißt surjektiv (Abbildung auf Y), wenn Wb(f) = Y gilt.
Eine Funktion heißt umkehrbar eindeutig (auch eineindeutig, injektiv),
falls zu jedem y Wb(f) genau ein x Db(f) mit (x, y) f gehört.
Schreibweise: f
1
| Wb(f ) Db(f) , x f
1
(y)
lies "f oben -1".
(Nicht zu verwechseln mit dem Kehrwert 1/f(x) ... "hoch -1"!)
Die Funktion
1
f heißt Umkehrfunktion von f.
Eine injektive und surjektive Abbildung von X auf Y heißt bijektiv.
Gleichmächtigkeit von Mengen
Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, wenn eine bijektive Abbildung
zwischen beiden Mengen existiert, d.h. eine umkehrbar eindeutige Abbildung von
A auf B. Bezeichnung A B.
Mit (A, B) T : A B ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller
Teilmengen (Potenzmenge) einer geeigneten Grundmenge erklärt.
Äquivalenzklassen gleichmächtiger Mengen (innerhalb einer geeigneten
Grundmenge) heißen Kardinalzahlen.
Eine Menge heißt abzählbar (unendlich), wenn sie mit der Menge N der
natürlichen Zahlen gleichmächtig ist.
Es gilt u.a.:
Die Menge Q der rationalen Zahlen ist abzählbar.
Die Menge der reellen Zahlen z.B. aus dem Intervall (0 ; 1) ist überabzählbar
(mächtiger als N).
- 2 -