Der goldene Schnitt - Institut für Numerische und Angewandte ...

O
M
J
L
A
P
B
N
K
Abbildung 6: Konstruktion des goldenen Schnitts mit dem Zirkel
Wendet man den Satz von Pythagoras auf △MQA an, so erhält man
|QM| 2 = |AM| 2 − |QA| 2 = |AB| 2 − |AB|2
4
und damit |QM| = ( √ 3/2)|AB|. Ebenfalls wegen des Satzes von Pythagoras ist
( |JK|
2
) 2 ( |AB|
) 2
+ = |AB|
2
2
und daher |JK| = √ 3|AB|. Nach Konstruktion ist O Schnittpunkt der Kreise um L
bzw. B mit dem Radius |JK|. Daher ist
|MN| = 2|QM| = √ 3|AB| = |JK| = |LO| = |BO|.
Ebenfalls nach Konstruktion ist P Schnittpunkt der Kreise um M bzw. N mit dem
Radius |OA|, so dass |MP | = |NP | = |OA|. Wendet man den Satz von Pythagoras
auf △OAB an, so erhält man
Folglich ist
|OA| 2 + |AB| 2 = |OB| 2 = 3|AB| 2 .
|MP | = |NP | = |OA| = √ 2|AB|.
Eine Anwendung des Satzes von Pythagoras auf △MQP ergibt
2|AB| 2 = |MP | 2 = |MQ| 2 + |QP | 2 = 3 ( 1
) 2
4 |AB|2 +
2 |AB| + |AP |
und damit √
5
2 |AB| = 1 |AB| + |AP |.
2
9