Der goldene Schnitt - Institut für Numerische und Angewandte ...
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( |BC| ) 2 |BC| = + |AB| |AB| = 1. Folglich ist |AC|/|AB| = φ und |BC|/|AB| = 1/φ bzw. |AB|/|BC| = φ. Nach Lorenzo Mascheroni 8 (*1750, †1800) lässt sich jede Konstruktion, die mit Zirkel und Lineal gemacht werden kann, auch alleine mit dem Zirkel durchführen 9 . Die Konstruktion kann folgendermaßen verlaufen: • Gegeben sei die Strecke AB, die nach dem goldenen Schnitt zu teilen ist. • Schlage um A und B jeweils den Kreis mit dem Radius |AB| und bestimme die Schnittpunkte J und K dieser beiden Kreise. • Sei L Schnittpunkt des Kreises um J mit dem Radius JK und des Kreises um A mit dem Radius |AB|. • Seien N und M Schnittpunkte des Kreises um B mit dem Radius |JK| und des Kreises um A mit dem Radius |AB|. • Sei O Schnittpunkt des Kreises um L mit dem Radius |JK| und des Kreises um B mit dem Radius |JK|. • Sei P der Schnittpunkt der Kreise um M bzw. N mit dem Radius AO. • Im Punkte P wird die Strecke AB nach dem goldenen Schnitt geteilt. Diese Konstruktion wird in Abbildung 6 durchgeführt. Natürlich wollen wir diese jetzt auch noch rechtfertigen, also zeigen, dass die Strecke AB in P nach dem goldenen Schnitt geteilt wird. Zunächst ist klar, dass P wirklich auf der Strecke AB liegt (ein analytischer Beweis ist ganz einfach). Wir lassen aus Abbildung 6 die meisten Kreise fort und ziehen die Strecke LB, zeichnen ferner den Schnittpunkt von MN und LB ein, den wir Q nennen, siehe Abbildung 7. Es ist Ferner ist |AB| = |BJ| = |JM| = |ML| = |LN| = |AJ| = |AM| = |AL| = |AN. |AQ| = |QL| = |AB| 2 . 8 Bekannt ist Mascheroni auch durch die Euler-Mascheroni-Konstante ( ∑ n ) 1 C := lim n→∞ k − ln n . k=1 9 Das Buch Geometria del compasso (1797), in dem dies gezeigt wurde, ist übrigens in Versform geschrieben und Napoleon Bonaparte gewidmet. Mascheroni war nicht bekannt, dass sein Ergebnis schon früher (1672) von dem dänischen Mathematiker Georg Mohr (*1640, †1697) bewiesen war. Das wurde überhaupt erst bekannt, als dessen Buch Euclides Danicus 1927 von einem Studenten der Kopenhagener Universität in einem Antiquariat entdeckt wurde. 8
O M J L A P B N K Abbildung 6: Konstruktion des goldenen Schnitts mit dem Zirkel Wendet man den Satz von Pythagoras auf △MQA an, so erhält man |QM| 2 = |AM| 2 − |QA| 2 = |AB| 2 − |AB|2 4 und damit |QM| = ( √ 3/2)|AB|. Ebenfalls wegen des Satzes von Pythagoras ist ( |JK| 2 ) 2 ( |AB| ) 2 + = |AB| 2 2 und daher |JK| = √ 3|AB|. Nach Konstruktion ist O Schnittpunkt der Kreise um L bzw. B mit dem Radius |JK|. Daher ist |MN| = 2|QM| = √ 3|AB| = |JK| = |LO| = |BO|. Ebenfalls nach Konstruktion ist P Schnittpunkt der Kreise um M bzw. N mit dem Radius |OA|, so dass |MP | = |NP | = |OA|. Wendet man den Satz von Pythagoras auf △OAB an, so erhält man Folglich ist |OA| 2 + |AB| 2 = |OB| 2 = 3|AB| 2 . |MP | = |NP | = |OA| = √ 2|AB|. Eine Anwendung des Satzes von Pythagoras auf △MQP ergibt 2|AB| 2 = |MP | 2 = |MQ| 2 + |QP | 2 = 3 ( 1 ) 2 4 |AB|2 + 2 |AB| + |AP | und damit √ 5 2 |AB| = 1 |AB| + |AP |. 2 9
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( |BC|<br />
) 2<br />
|BC|<br />
= +<br />
|AB| |AB|<br />
= 1.<br />
Folglich ist |AC|/|AB| = φ <strong>und</strong> |BC|/|AB| = 1/φ bzw. |AB|/|BC| = φ.<br />
Nach Lorenzo Mascheroni 8 (*1750, †1800) lässt sich jede Konstruktion, die mit Zirkel<br />
<strong>und</strong> Lineal gemacht werden kann, auch alleine mit dem Zirkel durchführen 9 . Die<br />
Konstruktion kann folgendermaßen verlaufen:<br />
• Gegeben sei die Strecke AB, die nach dem <strong>goldene</strong>n <strong>Schnitt</strong> zu teilen ist.<br />
• Schlage um A <strong>und</strong> B jeweils den Kreis mit dem Radius |AB| <strong>und</strong> bestimme die<br />
<strong>Schnitt</strong>punkte J <strong>und</strong> K dieser beiden Kreise.<br />
• Sei L <strong>Schnitt</strong>punkt des Kreises um J mit dem Radius JK <strong>und</strong> des Kreises um A<br />
mit dem Radius |AB|.<br />
• Seien N <strong>und</strong> M <strong>Schnitt</strong>punkte des Kreises um B mit dem Radius |JK| <strong>und</strong> des<br />
Kreises um A mit dem Radius |AB|.<br />
• Sei O <strong>Schnitt</strong>punkt des Kreises um L mit dem Radius |JK| <strong>und</strong> des Kreises um<br />
B mit dem Radius |JK|.<br />
• Sei P der <strong>Schnitt</strong>punkt der Kreise um M bzw. N mit dem Radius AO.<br />
• Im Punkte P wird die Strecke AB nach dem <strong>goldene</strong>n <strong>Schnitt</strong> geteilt.<br />
Diese Konstruktion wird in Abbildung 6 durchgeführt. Natürlich wollen wir diese jetzt<br />
auch noch rechtfertigen, also zeigen, dass die Strecke AB in P nach dem <strong>goldene</strong>n<br />
<strong>Schnitt</strong> geteilt wird. Zunächst ist klar, dass P wirklich auf der Strecke AB liegt (ein<br />
analytischer Beweis ist ganz einfach). Wir lassen aus Abbildung 6 die meisten Kreise<br />
fort <strong>und</strong> ziehen die Strecke LB, zeichnen ferner den <strong>Schnitt</strong>punkt von MN <strong>und</strong> LB<br />
ein, den wir Q nennen, siehe Abbildung 7. Es ist<br />
Ferner ist<br />
|AB| = |BJ| = |JM| = |ML| = |LN| = |AJ| = |AM| = |AL| = |AN.<br />
|AQ| = |QL| = |AB|<br />
2 .<br />
8 Bekannt ist Mascheroni auch durch die Euler-Mascheroni-Konstante<br />
(<br />
∑ n )<br />
1<br />
C := lim<br />
n→∞ k − ln n .<br />
k=1<br />
9 Das Buch Geometria del compasso (1797), in dem dies gezeigt wurde, ist übrigens in Versform<br />
geschrieben <strong>und</strong> Napoleon Bonaparte gewidmet. Mascheroni war nicht bekannt, dass sein Ergebnis<br />
schon früher (1672) von dem dänischen Mathematiker Georg Mohr (*1640, †1697) bewiesen war. Das<br />
wurde überhaupt erst bekannt, als dessen Buch Euclides Danicus 1927 von einem Studenten der<br />
Kopenhagener Universität in einem Antiquariat entdeckt wurde.<br />
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