Der goldene Schnitt - Institut für Numerische und Angewandte ...

E
G
A B C
F
D
Abbildung 4: Die Aufgabe von G. Odom
Streng genommen handelt es sich hier also nicht um die Konstruktion des inneren
goldenenen Schnittes, sondern des äußeren goldenen Schnittes. Abbildung 4 soll die
Konstruktion verdeutlichen. Die Lösung der Aufgabe erschien übrigens im American
Mathematical Monthly 93 (1986, S. 572), siehe auch A. Beutelspacher, B. Petri
(1996, S. 23). Zunächst beachten wir, dass auch das Dreieck △ABE gleichseitig ist,
was z. B. aus dem Strahlensatz folgt. Nun wenden wir den Sehnensatz an. Dieser sagt
aus:
• Zieht man durch einen Punkt P in einem Kreis Sehnen, so sind die Produkte
der Längen der von P aus gemessenen Abschnitte auf den Sehnen gleich, siehe
Abbildung 5.
A
C
P
B
D
Abbildung 5: Der Sehnensatz: |AP | |P B| = |CP | |P D|
Bei der Anwendung spielt B die Rolle von P , die beiden Sehnen sind ED und GC,
ihre Abschnitte EB und BD bzw. BC und GB. Hiernach ist dann
(∗)
|AB| 2 = |EB| |BD| = |BC| |GB| = |BC|(|AB| + |GA|) = |BC|(|AB| + |BC|).
Folglich ist
( |AC|
) 2
|AC| −
|AB |AB|
=
( |AB| + |BC|
) 2
|AB| + |BC|
−
|AB|
|AB|
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