Der goldene Schnitt - Institut für Numerische und Angewandte ...

= f k+2 − 1 + f k+1
= f (k+1)+2 − 1,
womit der Induktionsbeweis erfolgreich abgeschlossen ist.
Auch den vierten Teil der Aufgabe beweisen wir durch vollständige Induktion nach k,
wobei der Induktionsanfang für k = 0 wieder trivialerweise gegeben ist. Die Aussage
sei für k richtig. Dann ist
∑k+1
fj 2 f j+1 =
j=0
k∑
fj 2 f j+1 + fk+1 2 f k+2
j=0
= f kf k+1 f k+2
2
+ f 2 k+1 f k+2
= (f k+2 − f k+1 )f k+1 f k+2
2
= f k+1f k+2 (f k+1 + f k+2 )
2
= f k+1f k+2 f k+3
,
2
also ist die Aussage auch für k + 1 richtig.
+ f 2 k+1 f k+2
Die fünfte Aussage wird ebenfalls durch vollständige Induktion nach k bewiesen. Die
Aussage ist für k = 1 und k = 2 offensichtlich richtig. Angenommen, sie sei es auch für
ein k ≥ 2. Dann ist
∑k+1
f j f k+1−j =
j=0
=
=
=
k∑
f j f k+1−j
j=0
∑k−1
f j f k+1−j + f k
j=0
∑k−1
f j (f k−j + f k−1−j ) + f k
j=0
k∑ ∑k−1
f j f k−j + f j f k−1−j + f k
j=0
j=0
= 1 5 (k − 1)f k + 2 5 kf k−1 + 1 5 (k − 2)f k−1 + 2 5 (k − 1)f k−2 + f k
= 1 5 (k − 1)f k + 2 5 kf k−1 + 1 5 (k − 2)f k−1 + 2 5 (k − 1)(f k − f k−1 ) + f k
( 3
=
5 k + 2 f k +
5)
1 5 kf k−1
= 1 5 k(f k−1 + f k ) + 2 5 (k + 1)f k
= 1 5 kf k+1 + 2 5 (k + 1)f k,
womit der Induktionsbeweis abgeschlossen ist.
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