Der goldene Schnitt - Institut für Numerische und Angewandte ...

= 1 +
= 1 +
n∑
k=1
(
fk+2
− f )
k+1
f k+1 f k
n∑
(x k − x k−1 )
k=1
= 1 + (x n − x 0 )
= 1 − f 2
f 1
+ x n
= x n
für ein beliebiges n ∈ N. Hieraus folgt die Behauptung.
3. Sei {f k } die Folge der Fibonacci-Zahlen, also f 0 := 0, f 1 := 1 und f k := f k−1 + f k−2 ,
k = 2, 3, . . .. Man zeige:
(a) Für k = 0, 1, . . . und l ∈ N ist f k+l = f l f k+1 + f l−1 f k .
(b) Es ist f 2k+1 = fk+1 2 + f k 2 , k = 0, 1, . . ..
(c) Es ist
(d) Es ist
(e) Es ist
k∑
j=0
k∑
f j = f k+2 − 1, k = 0, 1, . . . .
j=0
fj 2 f j+1 = f kf k+1 f k+2
, k = 0, 1, . . . .
2
k∑
f j f k−j = 1 5 (k − 1)f k + 2 5 kf k−1, k = 1, . . . .
j=0
(f) Es ist (1 − φ) k = f k+1 − φf k , k = 0, 1, . . ..
Lösung: Zum Beweis des ersten Teiles der Aufgabe halten wir k fest und beweisen
durch vollständige Induktion nach l, dass f k+l = f l f k+1 + f l−1 f k für alle l ∈ N. Für
l = 1 und l = 2 ist dies offensichtlich richtig. Angenommen, es sei für l −1 und l richtig.
Dann ist
f k+l+1 = f k+l + f k+l−1
= f l f k+1 + f l−1 f k + f l−1 f k+1 + f l−2 f k
= (f l + f l−1 )f k+1 + (f l−1 + f l−2 )f k
= f l+1 f k+1 + f l f k .
Damit ist der Induktionsbeweis abgeschlossen und der erste Teil der Aufgabe bewiesen.
Zum Beweis des zweiten Teiles setze man im ersten Teil der Aufgabe l := k + 1.
Den dritten Teil der Aufgabe beweisen wir durch vollständige Induktion nach k. Für
k = 0 ist die Aussage offensichtlich richtig. Angenommen, sie sei für k richtig. Dann ist
∑k+1
f j =
j=0
k∑
f j + f k+1
j=0
40