Der goldene Schnitt - Institut für Numerische und Angewandte ...

Lösung: Wir beweisen die Behauptung durch vollständige Induktion. Für k = 1 ist
die Behauptung offensichtlich richtig. Wir nehmen an, sie sei für k richtig. Dann ist
f k+2 f k − f 2 k+1 = (f k+1 + f k )f k − f k+1 (f k + f k−1 )
= f 2 k − f k+1f k−1
= −(−1) k
= (−1) k+1 ,
(nach Induktionsannahme)
womit die Behauptung bewiesen ist. Ein “esoterischer” Beweis ist bei D. E. Knuth
(1997, S. 81) angegeben. Hiernach beweist man zunächst die Identität
( ) ( ) k
fk+1 f k 1 1
=
f k f k−1 1 0
durch vollständige Induktion nach k, anschließend bildet man auf beiden Seiten dieser
Gleichung die Determinante.
Die obige Identität ist Grundlage eines Puzzles. Wir “beweisen”, dass 168=169. Auf
kariertem Papier zeichnen wir nämlich ein Rechteck, dessen Seiten die Längen 8 und
21 haben, dessen Flächeninhalt also 8 · 21 = 168 ist. In Abbildung 27 links ist dieses
Rechteck angegeben, ferner ist angedeutet, wie es zu zerschneiden ist. Die Teile setze
Abbildung 27: Zerschneiden eines Rechtecks, Zusammensetzen als Quadrat
man zu einem Quadrat der Seitenlänge 13 zusammen, siehe Abbildung 27 rechts. Dieses
Quadrat hat den Flächeninhalt 13 2 = 169. Damit ist 168=169 “bewiesen”. Grundlage
der optischen Täuchung ist die Gleichung f 6 f 8 − f7 2 = −1, ein Spezialfall der obigen
Gleichung.
2. Sei {f k } die Folge der Fibonacci-Zahlen, also f 0 := 0, f 1 := 1 und f k := f k−1 + f k−2 ,
k = 2, 3, . . .. Dann ist
∞∑ (−1) k+1
φ = 1 +
.
f k f k+1
k=1
Lösung: Wir definieren x k := f k+2 /f k+1 , k = 0, 1, . . ., und benutzen, dass lim k→∞ x k =
φ. Mit Hilfe der letzten Aufgabe erhalten wir, dass
n∑ (−1) k+1
n∑
(
fk+2 f k − f 2 )
k+1
1 +
= 1 +
f k f k+1 f k f k+1
k=1
39
k=1