Der goldene Schnitt - Institut für Numerische und Angewandte ...
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3. Man betrachte die folgende Konstruktion (siehe K. Hofstetter (2002)): • Gegeben seien zwei Punkte A und B. • Seien C und D Schnittpunkte der beiden Kreise um A bzw. B, welche jeweils den Radius |AB| haben. • Seien E und F Schnittpunkte der beiden Kreise mit der Geraden durch A und B. • Seien X und Y Schnittpunkte der beiden Kreise um A bzw. B, jeweils mit dem Radius |EF |. Siehe Abbildung 26 links. X X D D E A B F E A B F C C Y Y Abbildung 26: Konstruktion des goldenen Schnitts nach Hofstetter (a) Man zeige, dass die Strecke CX in D nach dem goldenen Schnitt geteilt wird. (b) Die Gerade durch A und B kann durch einen Kreis um C mit dem Radius |CD| ersetzt werden, siehe Abbildung 26 rechts. Lösung: Wir geben eine analytische Lösung an und nehmen an, es sei A = (0, 0) und B = (1, 0) (was keine Einschränkung der Allgemeinheit ist). Dann ist C = ( 1 2 , − 1 2√ 3), D = ( 1 2 , 1 2√ 3). E = (−1, 0), F = (2, 0) (unabhängig davon, ob man (a) oder eine reine Zirkelkonstruktion betrachtet). Schließlich ist X = ( 1 2 , 1 2√ 15). Dann ist womit die Behauptung bewiesen ist. √ 1 |CX| |CD| = 2 15 + 1 2√ 3 √ = 1 3 2 (1 + √ 5) = φ, 6.2 Aufgaben in Abschnitt 2 1. Sei {f k } die Folge der Fibonacci-Zahlen, also f 0 := 0, f 1 := 1 und f k := f k−1 + f k−2 , k = 2, 3, . . .. Dann ist f k+1 f k−1 − f 2 k = (−1)k , k = 1, 2, . . . . 38
Lösung: Wir beweisen die Behauptung durch vollständige Induktion. Für k = 1 ist die Behauptung offensichtlich richtig. Wir nehmen an, sie sei für k richtig. Dann ist f k+2 f k − f 2 k+1 = (f k+1 + f k )f k − f k+1 (f k + f k−1 ) = f 2 k − f k+1f k−1 = −(−1) k = (−1) k+1 , (nach Induktionsannahme) womit die Behauptung bewiesen ist. Ein “esoterischer” Beweis ist bei D. E. Knuth (1997, S. 81) angegeben. Hiernach beweist man zunächst die Identität ( ) ( ) k fk+1 f k 1 1 = f k f k−1 1 0 durch vollständige Induktion nach k, anschließend bildet man auf beiden Seiten dieser Gleichung die Determinante. Die obige Identität ist Grundlage eines Puzzles. Wir “beweisen”, dass 168=169. Auf kariertem Papier zeichnen wir nämlich ein Rechteck, dessen Seiten die Längen 8 und 21 haben, dessen Flächeninhalt also 8 · 21 = 168 ist. In Abbildung 27 links ist dieses Rechteck angegeben, ferner ist angedeutet, wie es zu zerschneiden ist. Die Teile setze Abbildung 27: Zerschneiden eines Rechtecks, Zusammensetzen als Quadrat man zu einem Quadrat der Seitenlänge 13 zusammen, siehe Abbildung 27 rechts. Dieses Quadrat hat den Flächeninhalt 13 2 = 169. Damit ist 168=169 “bewiesen”. Grundlage der optischen Täuchung ist die Gleichung f 6 f 8 − f7 2 = −1, ein Spezialfall der obigen Gleichung. 2. Sei {f k } die Folge der Fibonacci-Zahlen, also f 0 := 0, f 1 := 1 und f k := f k−1 + f k−2 , k = 2, 3, . . .. Dann ist ∞∑ (−1) k+1 φ = 1 + . f k f k+1 k=1 Lösung: Wir definieren x k := f k+2 /f k+1 , k = 0, 1, . . ., und benutzen, dass lim k→∞ x k = φ. Mit Hilfe der letzten Aufgabe erhalten wir, dass n∑ (−1) k+1 n∑ ( fk+2 f k − f 2 ) k+1 1 + = 1 + f k f k+1 f k f k+1 k=1 39 k=1
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3. Man betrachte die folgende Konstruktion (siehe K. Hofstetter (2002)):<br />
• Gegeben seien zwei Punkte A <strong>und</strong> B.<br />
• Seien C <strong>und</strong> D <strong>Schnitt</strong>punkte der beiden Kreise um A bzw. B, welche jeweils den<br />
Radius |AB| haben.<br />
• Seien E <strong>und</strong> F <strong>Schnitt</strong>punkte der beiden Kreise mit der Geraden durch A <strong>und</strong> B.<br />
• Seien X <strong>und</strong> Y <strong>Schnitt</strong>punkte der beiden Kreise um A bzw. B, jeweils mit dem<br />
Radius |EF |.<br />
Siehe Abbildung 26 links.<br />
X<br />
X<br />
D<br />
D<br />
E<br />
A<br />
B<br />
F<br />
E<br />
A<br />
B<br />
F<br />
C<br />
C<br />
Y<br />
Y<br />
Abbildung 26: Konstruktion des <strong>goldene</strong>n <strong>Schnitt</strong>s nach Hofstetter<br />
(a) Man zeige, dass die Strecke CX in D nach dem <strong>goldene</strong>n <strong>Schnitt</strong> geteilt wird.<br />
(b) Die Gerade durch A <strong>und</strong> B kann durch einen Kreis um C mit dem Radius |CD|<br />
ersetzt werden, siehe Abbildung 26 rechts.<br />
Lösung: Wir geben eine analytische Lösung an <strong>und</strong> nehmen an, es sei A = (0, 0) <strong>und</strong><br />
B = (1, 0) (was keine Einschränkung der Allgemeinheit ist). Dann ist C = ( 1 2 , − 1 2√<br />
3),<br />
D = ( 1 2 , 1 2√<br />
3). E = (−1, 0), F = (2, 0) (unabhängig davon, ob man (a) oder eine reine<br />
Zirkelkonstruktion betrachtet). Schließlich ist X = ( 1 2 , 1 2√<br />
15). Dann ist<br />
womit die Behauptung bewiesen ist.<br />
√<br />
1<br />
|CX|<br />
|CD| = 2 15 +<br />
1<br />
2√<br />
3<br />
√ = 1 3 2 (1 + √ 5) = φ,<br />
6.2 Aufgaben in Abschnitt 2<br />
1. Sei {f k } die Folge der Fibonacci-Zahlen, also f 0 := 0, f 1 := 1 <strong>und</strong> f k := f k−1 + f k−2 ,<br />
k = 2, 3, . . .. Dann ist<br />
f k+1 f k−1 − f 2 k = (−1)k , k = 1, 2, . . . .<br />
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