Der goldene Schnitt - Institut für Numerische und Angewandte ...
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A B C Abbildung 23: Quadrat, Dreieck, Inkreis bestimme das Verhältnis aus der Länge der Basisseite und des Durchmessers des Inkreises. 5 Etwas Mathematik rund um φ Die Goldene-Schnitt-Zahl φ spielt in der Mathematik an verschiedenen Stellen eine Rolle. Wir wollen nur einige Beispiele hierzu angeben. 5.1 Minimierung einer unimodalen Funktion Eine Funktion f : [a, b] −→ R heißt unimodal, wenn es genau ein t ∗ ∈ (a, b) gibt mit f(t ∗ ) = min t∈[a,b] f(t), und wenn f auf [a, t ∗ ] monoton fallend und auf [t ∗ , b] monoton wachsend ist. Das Ziel besteht darin, das unbekannte Minimum möglichst gut zu lokalisieren, wobei allerdings möglichst wenig Funktionsauswertungen vorzunehmen sind, weil diese “teuer” sein können. Angenommen, man wertet die unimodale Funktion f an zwei Punkten s, t ∈ [a, b] mit s < t aus. Ist f(s) > f(t), so können s und t nicht beide rechts von t ∗ liegen, da f auf [t ∗ , b] monoton wachsend ist. Daher muss s links von t ∗ liegen und man sucht t ∗ jetzt in dem reduzierten Intervall [s, b]. Ist dagegen f(s) ≤ f(t), so können s und t nicht beide links von t ∗ liegen, so dass man sich bei der Suche nach t ∗ auf das Intervall [a, t] beschränken kann. Nun geben wir die Methode des goldenen Schnitts zur Minimierung einer unimodalen Funktion f an. Hierbei wird zu Beginn das Intervall [a, b] in s < t nach dem goldenen Schnitt geteilt, die Funktion f in den beiden Punkten ausgewertet und danach entschieden, ob in [a, t] oder in [s, b] weiter gesucht wird. Dieses neue Intervall wird wieder nach dem goldenen Schnitt geteilt, wobei einer der beiden Punkte und insbesondere sein Funktionswert schon bekannt ist. • Die Funktion f : [a, b] −→ R sei auf [a, b] unimodal. 32
• Sei ɛ > 0 (gewünschte Genauigkeit) gegeben, setze F := 1/φ = ( √ 5 − 1)/2. • Berechne { s := a + (1 − F )(b − a), fs := f(s), t := a + F (b − a), f t := f(t). • Solange b − a > ɛ: – Falls f s > f t , dann: – Andernfalls: • t ∗ ≈ (a + b)/2. a := s, s := t, t := a + F (b − a), f s := f t , f t := f(t) b := t, t := s, s := a + (1 − F )(b − a), f t := f s , f s := f(s). Natürlich endet das Verfahren nach endlich vielen Schritten, da die Intervalllänge des “Ungewissheitsintervalls” von Schritt zu Schritt mit 1/φ ≈ 0.6180339890 multipliziert wird. 5.2 Die Konvergenzgeschwindigkeit des Sekantenverfahrens Wir zitieren den folgenden lokalen Konvergenzsatz für das Sekantenverfahren, siehe z. B. J. Werner (1992, S. 112). • Sei f ∈ C 2 [a, b] und x ∗ ∈ (a, b) eine einfache Nullstelle von f, d. h. es sei f(x ∗ ) = 0 und f ′ (x ∗ ) ≠ 0. Dann existiert ein δ > 0 und hiermit ein Intervall I δ := [x ∗ − δ, x ∗ + δ] ⊂ [a, b] mit: Sind x 0 , x 1 ∈ I δ mit x 0 ≠ x 1 , so ist die aus dem Sekantenverfahren x k+1 := x k − (x k − x k−1 )f(x k ) , k = 1, 2, . . . , f(x k ) − f(x k−1 ) gebildete Folge {x k } definiert und {x k } ⊂ I δ konvergent gegen x ∗ . Hierbei wird x k ≠ x ∗ für alle k angenommen. Ferner existiert eine Nullfolge {c k } ⊂ R + positiver reeller Zahlen und eine Konstante C > 0 mit |x k − x ∗ | ≤ c k und c k+1 ≤ Cc φ k für k = 0, 1, . . .. Auch hier spielt also überraschenderweise die Goldene-Schnitt-Zahl eine Rolle. 33
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• Sei ɛ > 0 (gewünschte Genauigkeit) gegeben, setze F := 1/φ = ( √ 5 − 1)/2.<br />
• Berechne<br />
{ s := a + (1 − F )(b − a), fs := f(s),<br />
t := a + F (b − a), f t := f(t).<br />
• Solange b − a > ɛ:<br />
– Falls f s > f t , dann:<br />
– Andernfalls:<br />
• t ∗ ≈ (a + b)/2.<br />
a := s, s := t, t := a + F (b − a), f s := f t , f t := f(t)<br />
b := t, t := s, s := a + (1 − F )(b − a), f t := f s , f s := f(s).<br />
Natürlich endet das Verfahren nach endlich vielen Schritten, da die Intervalllänge des<br />
“Ungewissheitsintervalls” von Schritt zu Schritt mit 1/φ ≈ 0.6180339890 multipliziert<br />
wird.<br />
5.2 Die Konvergenzgeschwindigkeit des Sekantenverfahrens<br />
Wir zitieren den folgenden lokalen Konvergenzsatz <strong>für</strong> das Sekantenverfahren, siehe<br />
z. B. J. Werner (1992, S. 112).<br />
• Sei f ∈ C 2 [a, b] <strong>und</strong> x ∗ ∈ (a, b) eine einfache Nullstelle von f, d. h. es sei f(x ∗ ) = 0<br />
<strong>und</strong> f ′ (x ∗ ) ≠ 0. Dann existiert ein δ > 0 <strong>und</strong> hiermit ein Intervall<br />
I δ := [x ∗ − δ, x ∗ + δ] ⊂ [a, b]<br />
mit: Sind x 0 , x 1 ∈ I δ mit x 0 ≠ x 1 , so ist die aus dem Sekantenverfahren<br />
x k+1 := x k − (x k − x k−1 )f(x k )<br />
, k = 1, 2, . . . ,<br />
f(x k ) − f(x k−1 )<br />
gebildete Folge {x k } definiert <strong>und</strong> {x k } ⊂ I δ konvergent gegen x ∗ . Hierbei wird<br />
x k ≠ x ∗ <strong>für</strong> alle k angenommen. Ferner existiert eine Nullfolge {c k } ⊂ R + positiver<br />
reeller Zahlen <strong>und</strong> eine Konstante C > 0 mit<br />
|x k − x ∗ | ≤ c k <strong>und</strong> c k+1 ≤ Cc φ k<br />
<strong>für</strong> k = 0, 1, . . ..<br />
Auch hier spielt also überraschenderweise die Goldene-<strong>Schnitt</strong>-Zahl eine Rolle.<br />
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