Der goldene Schnitt - Institut für Numerische und Angewandte ...

A
B
C
Abbildung 23: Quadrat, Dreieck, Inkreis
bestimme das Verhältnis aus der Länge der Basisseite und des Durchmessers des Inkreises.
5 Etwas Mathematik rund um φ
Die Goldene-Schnitt-Zahl φ spielt in der Mathematik an verschiedenen Stellen eine
Rolle. Wir wollen nur einige Beispiele hierzu angeben.
5.1 Minimierung einer unimodalen Funktion
Eine Funktion f : [a, b] −→ R heißt unimodal, wenn es genau ein t ∗ ∈ (a, b) gibt mit
f(t ∗ ) = min t∈[a,b] f(t), und wenn f auf [a, t ∗ ] monoton fallend und auf [t ∗ , b] monoton
wachsend ist. Das Ziel besteht darin, das unbekannte Minimum möglichst gut zu lokalisieren,
wobei allerdings möglichst wenig Funktionsauswertungen vorzunehmen sind,
weil diese “teuer” sein können.
Angenommen, man wertet die unimodale Funktion f an zwei Punkten s, t ∈ [a, b]
mit s < t aus. Ist f(s) > f(t), so können s und t nicht beide rechts von t ∗ liegen, da
f auf [t ∗ , b] monoton wachsend ist. Daher muss s links von t ∗ liegen und man sucht t ∗
jetzt in dem reduzierten Intervall [s, b]. Ist dagegen f(s) ≤ f(t), so können s und t nicht
beide links von t ∗ liegen, so dass man sich bei der Suche nach t ∗ auf das Intervall [a, t]
beschränken kann. Nun geben wir die Methode des goldenen Schnitts zur Minimierung
einer unimodalen Funktion f an. Hierbei wird zu Beginn das Intervall [a, b] in s < t nach
dem goldenen Schnitt geteilt, die Funktion f in den beiden Punkten ausgewertet und
danach entschieden, ob in [a, t] oder in [s, b] weiter gesucht wird. Dieses neue Intervall
wird wieder nach dem goldenen Schnitt geteilt, wobei einer der beiden Punkte und
insbesondere sein Funktionswert schon bekannt ist.
• Die Funktion f : [a, b] −→ R sei auf [a, b] unimodal.
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