Der goldene Schnitt - Institut für Numerische und Angewandte ...

B
C
D
J
I
O
E
A
H
G
F
Abbildung 22: Goldenes Rechteck und goldene Spirale
siehe Abbildung 22. Sei O der Schnittpunkt von AE und BF (oder CG und HD) 16
In Abbildung 22 haben wir einen Teil S einer Spirale durch die Punkte A, C, E, G, I
gezeichnet, die sogenannte goldene Spirale. Mit einem geeigneten Drehwinkel α (dieser
ist gerade so bestimmt, dass O + |OE|(cos α, sin α) = E) ist
S = {O + |OE| φ 2θ/π (cos(α + θ), sin(α + θ)) : θ ∈ [−2π, π]}.
Genauer wollen wir hierauf nicht eingehen, siehe A. Beutelspacher, B. Petri
(1996, S. 57 ff) und H. S. M. Coxeter (1969, S. 164 ff.). Auf einer Schweizer Briefmarke
17 aus dem Jahr 1987 findet man die goldene Spirale.
4.6 Aufgaben
1. Man zeige: In ein gegebenes Quadrat kann man ein goldenes Rechteck so einbeschreiben
(d. h. die Ecken des Rechtecks liegen auf unterschiedlichen Seiten des Quadrates), dass
seine Ecken die Seiten des Quadrats im goldenen Schnitt teilen.
2. Gegeben sei ein Quader mit dem Volumen 1, eine Kantenlänge sei 1 und die Länge der
Raumdiagonale sei 2. Man bestimme die beiden anderen Kantenlängen.
3. Man betrachte 18 Abbildung 23, in welcher einem Quadrat ein gleichschenkliges Dreieck
einbeschrieben ist, wobei die Basis des Dreiecks eine Seite des Quadrats ist. Man
16 Es ist einfach analytisch nachzuweisen, dass alle Geradenstücke AE, BF , CG und HD einen
gemeinsamen Schnittpunkt haben. Ist ABCH das Einheitsquadrat mit A = (0, 0), B = (0, 1), C =
(1, 1) und H = (1, 0), so ist O = ( 1 2 + 3 10√
5,
1
2 − 1 10√
5). In diesem Falle ist
|OE| = 2 √
5
√
5 −
√
5
1 + √ 5 .
17 Siehe
http://www.fh-friedberg.de/users/boergens/marken/beispiele/goldenerschnitt.htm
18 Siehe A. Beutelspacher, B. Petri (1996, S. 73).
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