Der goldene Schnitt - Institut für Numerische und Angewandte ...

4.4 Das Fünf-Kreise-Problem
Gegeben sei ein Kreis mit dem Mittelpunkt O. Man konstruiere das zugehörige regelmäßige
Fünfeck. Durch je zwei benachbarte Ecken dieses Fünfecks und den Kreismittelpunkt
lege man jeweils einen Kreis, also fünf Kreise (siehe Abbildung 21 links).
Wie verhält sich der Radius des gegebenen Kreises zu den Radien der so konstruierten
P
Q
R
O
Abbildung 21: Das Fünf-Kreise-Problem
Kreise?
Wir haben den Radius der konstruierten Kreise zu berechnen. Seien P , R aufeinanderfolgende
Ecken in dem einem Kreis um O einbeschriebenen regelmäßigen Fünfeck,
siehe Abbildung 21 rechts. Dann ist
Daher ist
|OP |
2
= |OQ| cos π 5
|OP |
|OQ| = 2 cos π 5 = φ.
Die Radien der entsprechenden Kreise stehen also im goldenen-Schnitt-Verhältnis zueinander.
4.5 Die goldene Spirale
Unter einem goldenen Rechteck versteht man ein Rechteck, dessen Seiten im goldenen-
Schnitt-Verhältnis zueinander stehen. Die Beziehung φ = 1 + 1/φ zeigt, dass man ein
goldenes Rechteck in zwei Teile zerlegen kann, nämlich ein Quadrat und ein kleineres
goldenes Rechteck. Geht man umgekehrt (wir folgen in der Notation der Darstellung
bei H. S. M. Coxeter (1969, S. 164 ff.) bzw. A. Beutelspacher, B. Petri (1996,
S. 57 ff.)) von einem Quadrat ABCH aus, so kann man hierzu das goldene Rechteck
ABDF konstruieren. Das Rechteck CDF H ist wieder ein goldenes Rechteck, welches
wieder in das Quadrat CDEJ und das goldene Rechteck JEF H zerlegt werden kann,
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