Der goldene Schnitt - Institut für Numerische und Angewandte ...

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In dieser Vorlesung will ich einige “merkwürdige” Dinge über den goldenen Schnitt erzählen. Vor über 20 Jahren habe ich das erste Mal in einer abschließenden Vorlesung (über Numerische Mathematik oder Optimierung, ich weiß es nicht mehr) über Fibonacci-Zahlen und den goldenen Schnitt berichtet. Seitdem ist es durch das Internet und Suchmaschinen 1 viel einfacher geworden, interessante Informationen 2 (nicht nur) hierzu zu gewinnen. Außerdem ist inzwischen (sogar schon in zweiter Auflage) das Buch von A. Beutelspacher, B. Petri (1996) über den goldenen Schnitt herausgekommen, welches auch ein sehr reichhaltiges Literaturverzeichnis besitzt. Mit dieser verbesserten Quellenlage soll eine verbesserte Neuauflage der damaligen Vorlesung versucht werden. 1 Definition und Konstruktion Man sagt, eine Strecke sei nach dem goldenen Schnitt in zwei Teile geteilt, wenn sich die gesamte Strecke zum größeren Teil verhält wie dieser zum kleineren. Hat man also eine Strecke der Länge L, so bestimmt sich die Länge l der größeren nach dem goldenen Schnitt geteilten Strecke aus L l = l L − l . Hieraus erhält man für das “Goldene-Schnitt-Verhältnis” L/l die Gleichung L l = 1 L/l − 1 bzw. ( L l ) 2 − L l = 1. Von den beiden Lösungen dieser quadratischen Gleichung ist natürlich nur die positive relevant, so dass L l = 1 + √ √ 5 5 − 1 bzw. l = L. 2 2 Die Zahl 3 φ := 1 + √ 5 2 = 1.6180339887498948482 · · · 1 Gibt man der Suchmaschine Google den Suchbegriff “Goldener Schnitt“ ein, so erhält man 171 000 Seiten, bei “Golden Section“ sind es 846 000, bei “Golden Ratio“ sogar 2 580 000. 2 Siehe z. B.http://mathworld.wolfram.com/GoldenRatio.html und http://www.geometry.net/math_discover/golden_ratio.html 3 Die Bezeichnung φ für die Goldene-Schnitt-Zahl soll den griechischen Bildhauer Phidias (er lebte etwa von 490/80 bis 430/20 v. Chr.) ehren, der in seinen Skulpturen, aber vor allem beim Bau des Parthenon (Beginn 449 v. Chr.) den goldenen Schnitt angwandt haben soll, siehe D. E. Knuth (1997, S. 81). Allerdings ist Phidias nicht Baumeister des Parthenon gewesen, auch seine Beteiligung bei der Ausgestaltung der Friese und Giebel ist nicht gesichert. Er könnte allerdings (hierfür gibt es nur Plutarch als Quelle) eine Art Oberaufseher über alle beim Bau des Parthenon beteiligten Künstler gewesen sein. 2
heißt die Goldene-Schnitt-Zahl 4 . Dieses Verhältnis bzw. Proportion (goldener Schnitt, stetige Teilung, sectio aurea, divina proportione, section d’or, golden section, golden ratio) hat seit Jahrhunderten nicht nur Mathematiker und Mathematikerinnen fasziniert. Etwas überhöht ausgedrückt (Lexikon der Kunst (in 4 Bänden) Band II, Leipzig 1976): • Der Mensch empfindet den goldenen Schnitt als besonders harmonisch, da er vermutlich als die geistig sinnliche Umsetzung von Modellvorstellungen entstanden ist, die sich beim Menschen bei der praktischen Aneignung der Wirklichkeit gebildet haben. Wir wollen auf das Auftreten der “goldenen Proportion” φ in Kunst, Architektur und Natur kaum eingehen, sondern verweisen auf die Kapitel 9 und 10 bei A. Beutelspacher, B. Petri (1996) sowie auf die vielen Webseiten, die man durch entsprechende Anfragen bei z. B. Google erhält. Erwähnt sei nur, dass die vier Linien, die man durch Teilung der Seiten eines Rechtecks nach dem goldenenen Schnitt erhält (siehe Abbildung 1 links, hier sind wir von einem Rechteck im DIN-Format ausgegangen) von O. Abbildung 1: Goldene Linien und Punkte in einem DIN-Rechteck (links), “Konstruktion” der Mona Lisa (rechts) Hagenmaier (1949) goldene Linien, ihre Schnittpunkte als goldene Punkte bezeichnet werden. Dort kann man nachlesen: 4 Unter http://www.cs.arizona.edu/icon/oddsends/phi.htm findet man die ersten 5 000 Stellen von φ. 3
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