Der goldene Schnitt - Institut für Numerische und Angewandte ...
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4.3 Ein hübsches Problem<br />
Gegeben sei ein beliebiges Rechteck ABCD. Wie hat man die Punkte P <strong>und</strong> Q auf DC<br />
bzw. CB zu legen, damit die Dreiecke △ADP , △P CQ <strong>und</strong> △QAB gleichen Flächeninhalt<br />
haben?<br />
Die Lösung (siehe auch A. Beutelspacher, B. Petri (1996, S. 71)) ist natürlich<br />
nicht schwierig. Mögen a, b, c, d die in Abbildung 20 ersichtliche Bedeutung haben. Als<br />
Flächeninhalte der jeweiligen Dreiecke erhält man<br />
Fläche(△ADP ) = 1 a(c + d),<br />
2<br />
Fläche(△P CQ) = 1 2 bd,<br />
Fläche(△QAB) = 1 c(a + b).<br />
2<br />
Als Flächeninhalte der jeweiligen Dreiecke erhält man<br />
A<br />
a+b<br />
B<br />
c<br />
Q<br />
c+d<br />
d<br />
D<br />
a<br />
P<br />
b<br />
C<br />
Abbildung 20: Wann haben △ADP , △P CQ <strong>und</strong> △QAB gleichen Flächeninhalt?<br />
Fläche(△ADP ) = 1 a(c + d),<br />
2<br />
Fläche(△P CQ) = 1 2 bd,<br />
Die Flächeninhalte sind also gleich, wenn<br />
Fläche(△QAB) = 1 c(a + b).<br />
2<br />
a(c + d) = bd = c(a + b)<br />
ist, woraus man insbesondere bc = ad erhält. Eliminiert man hieraus a, so folgt durch<br />
Einsetzen<br />
bc<br />
( d<br />
) 2<br />
d (c + d) = bd bzw. d −<br />
c c = 1.<br />
Folglich ist d/c = φ. Ähnlich folgt b/a = φ. Das Problem wird also dadurch gelöst,<br />
dass man BC <strong>und</strong> CD nach dem <strong>goldene</strong>n <strong>Schnitt</strong> teilt.<br />
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