Der goldene Schnitt - Institut für Numerische und Angewandte ...

• Von ihrer zwölften fast unbegreiflichen Wirkung (Cap. XXI).
Wenn eine Grösse nach unserer genannten Proportion getheilt wird, so verhält
sich die Wurzel aus der Summe aus dem Quadrat der ganzen Grösse und dem
Quadrat ihres grössern Abschnitts zur Wurzel der Summe aus dem Quadrat genannter
Grösse und dem Quadrate ihres kleinern Abschnitts wie die Seite des
Kubus zur Seite des Dreiecks des zwanzigflächigen Körpers.
Der “zwanzigflächige Körper” ist natürlich das Ikosaeder (20 Flächen (Dreiecke), 12
Ecken und 30 Kanten), siehe Abbildung 17. Der Durchmesser der Umkugel eines
Abbildung 17: Das Ikosaeder und das Dodekaeder
Würfels mit Kantenlänge l 6 ist 2r = l 6
√
3 (das ist genau der Inhalt von Euklid XIII,
15). Die Kante eines Ikosaeders in einer Kugel vom Radius r ist
√
l 20 = r 2 − 2/ √ 5 = √ r √10 − 2 √ 5
5
(siehe Euklid XIII, 16). Dann ist einerseits
√ √
√
√
12 + (1/φ)
√ 2
12 + (1 − 1/φ) = φ2 + 1 φ + 2
√ 2 φ2 + (φ − 1) = 5 + √ 5
√ =
2 3 6
und andererseits
Damit ist die Aussage bewiesen.
l 6
l 20
=
√
5 + √ 5
.
6
• Von ihrer dreizehnten werthesten Wirkung (Cap. XXII).
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