Der goldene Schnitt - Institut für Numerische und Angewandte ...

gilt in der Magie als ein Dämonen bannendes Symbol. In geheimen Orden, besonders
solchen, die Schwarze Magie betreiben, wird es als Erkennungszeichen gebraucht.
• Von der umgekehrten Wirkung der vorhergehenden (Cap. XVII).
Wenn eine Linie nach der Proportion getheilt ist, die einen mittleren und zwei
äußere Abschnitte hat, so ist immer in dem Kreise wofür der größere Abschnitt
die Seite des ihm einbeschriebenen Sechsecks ist, der kleinere die entsprechende
Zehneckseite.
Es ist mir unklar, weshalb diese “Wirkung” von Pacioli aufgenommen wurde (allerdings
fehlt auch ein steigerndes Adjektiv!), denn wegen der siebenten Wirkung ist
diese Aussage trivial.
• Von ihrer neunten über die anderen hinausgehenden Wirkung (Cap. XVIII).
Wenn man im Kreise das gleichseitige Fünfeck bildet, und über seine zwei benachbarten
Ecken zwei gerade Linien von den Endpunkten seiner Seiten ausgehend
spannt, so werden sich diese untereinander nothwendigerweise nach unserer Proportion
theilen.
Bei Euklid (XIII, 8) heißt es etwas genauer:
• Diagonalen, die im gleichseitigen und gleichwinkligen Fünfeck zwei aufeinanderfolgenden
Winkeln gegenüberliegen, teilen einander stetig; und ihre größeren Abschnitte
sind der Fünfeckseite gleich.
Ein analytischer Beweis ist nicht schwierig, wir verzichten aber darauf. Etwas verkürzt
sieht der Beweis bei Euklid folgendermaßen aus, man vergleiche Abbildung 16 (wir
benutzen im wesentlichen dieselben Bezeichnungen wie Euklid). Wir wollen zeigen,
dass die Diagonalen AC und EB in H nach dem goldenen Schnitt getrennt werden.
1. Es ist |EA| = |AB| und △ABE = △ABC, denn zwei Seiten und ein eingeschlossener
Winkel sind gleich.
2. Es ist ∢BAC = ∢ABE und ∢AHE = 2∢BAH.
3. Es ist ∢EAC = 2∢BAC.
4. Es ist ∢HAE = ∢AHE und daher |HE| = |EA| = |AB|.
5. Es ist ∢ABE = ∢AEB = ∢BAH.
6. Die Dreiecke △ABE und △HAB sind gleichschenklig und winkelgleich. Daher
ist bei beiden Dreiecken das Verhältnis der Länge der Grundseite zur Länge des
Schenkels dasselbe. D. h. es ist
|EB|
|AB| = |AB|
|BH| .
23