Der goldene Schnitt - Institut für Numerische und Angewandte ...
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halbierende von ∢ACD schneidet den Umkreis in einem Punkt E, die von ∢ADC den Kreis in einem Punkt B. (Man könnte E und B aber auch als Schnitt des Umkreises mit einem Kreis um D mit dem Radius |CD| bzw. um C mit dem Radius |CD|.) Dann ist das Fünfeck ABCDE ein reguläres Fünfeck, siehe Abbildung 14. Bei der Aufga- A B E C D Abbildung 14: Konstruktion des regulären Fünfecks nach Euklid be IV, 11 bei Euklid geht es nun aber eigentlich darum, einem gegebenen Kreis ein reguläres Fünfeck einzubeschreiben. Bei Euklid wird daher zunächst ein beliebiges goldenes Dreieck konstruiert, danach im gegebenen Kreis ein (goldenes) Dreieck, welches winkelgleich ist. Wie dies geschehen kann, wird bei Euklid (IV, 2) beschrieben. Mit der Konstruktion des regulären Fünfecks ist natürlich auch die Konstruktion des Pentagramms angegeben, siehe Abbildung 15. Das Pentagramm bzw. der Drudenfuß Abbildung 15: Das Pentagramm 22
gilt in der Magie als ein Dämonen bannendes Symbol. In geheimen Orden, besonders solchen, die Schwarze Magie betreiben, wird es als Erkennungszeichen gebraucht. • Von der umgekehrten Wirkung der vorhergehenden (Cap. XVII). Wenn eine Linie nach der Proportion getheilt ist, die einen mittleren und zwei äußere Abschnitte hat, so ist immer in dem Kreise wofür der größere Abschnitt die Seite des ihm einbeschriebenen Sechsecks ist, der kleinere die entsprechende Zehneckseite. Es ist mir unklar, weshalb diese “Wirkung” von Pacioli aufgenommen wurde (allerdings fehlt auch ein steigerndes Adjektiv!), denn wegen der siebenten Wirkung ist diese Aussage trivial. • Von ihrer neunten über die anderen hinausgehenden Wirkung (Cap. XVIII). Wenn man im Kreise das gleichseitige Fünfeck bildet, und über seine zwei benachbarten Ecken zwei gerade Linien von den Endpunkten seiner Seiten ausgehend spannt, so werden sich diese untereinander nothwendigerweise nach unserer Proportion theilen. Bei Euklid (XIII, 8) heißt es etwas genauer: • Diagonalen, die im gleichseitigen und gleichwinkligen Fünfeck zwei aufeinanderfolgenden Winkeln gegenüberliegen, teilen einander stetig; und ihre größeren Abschnitte sind der Fünfeckseite gleich. Ein analytischer Beweis ist nicht schwierig, wir verzichten aber darauf. Etwas verkürzt sieht der Beweis bei Euklid folgendermaßen aus, man vergleiche Abbildung 16 (wir benutzen im wesentlichen dieselben Bezeichnungen wie Euklid). Wir wollen zeigen, dass die Diagonalen AC und EB in H nach dem goldenen Schnitt getrennt werden. 1. Es ist |EA| = |AB| und △ABE = △ABC, denn zwei Seiten und ein eingeschlossener Winkel sind gleich. 2. Es ist ∢BAC = ∢ABE und ∢AHE = 2∢BAH. 3. Es ist ∢EAC = 2∢BAC. 4. Es ist ∢HAE = ∢AHE und daher |HE| = |EA| = |AB|. 5. Es ist ∢ABE = ∢AEB = ∢BAH. 6. Die Dreiecke △ABE und △HAB sind gleichschenklig und winkelgleich. Daher ist bei beiden Dreiecken das Verhältnis der Länge der Grundseite zur Länge des Schenkels dasselbe. D. h. es ist |EB| |AB| = |AB| |BH| . 23
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halbierende von ∢ACD schneidet den Umkreis in einem Punkt E, die von ∢ADC den<br />
Kreis in einem Punkt B. (Man könnte E <strong>und</strong> B aber auch als <strong>Schnitt</strong> des Umkreises<br />
mit einem Kreis um D mit dem Radius |CD| bzw. um C mit dem Radius |CD|.) Dann<br />
ist das Fünfeck ABCDE ein reguläres Fünfeck, siehe Abbildung 14. Bei der Aufga-<br />
A<br />
B<br />
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C<br />
D<br />
Abbildung 14: Konstruktion des regulären Fünfecks nach Euklid<br />
be IV, 11 bei Euklid geht es nun aber eigentlich darum, einem gegebenen Kreis ein<br />
reguläres Fünfeck einzubeschreiben. Bei Euklid wird daher zunächst ein beliebiges <strong>goldene</strong>s<br />
Dreieck konstruiert, danach im gegebenen Kreis ein (<strong>goldene</strong>s) Dreieck, welches<br />
winkelgleich ist. Wie dies geschehen kann, wird bei Euklid (IV, 2) beschrieben.<br />
Mit der Konstruktion des regulären Fünfecks ist natürlich auch die Konstruktion des<br />
Pentagramms angegeben, siehe Abbildung 15. Das Pentagramm bzw. der Drudenfuß<br />
Abbildung 15: Das Pentagramm<br />
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