Der goldene Schnitt - Institut für Numerische und Angewandte ...

• Schlage um B einen Kreis mit dem Radius |BC| und bestimme den Schnittpunkt
D dieses Kreises mit dem Durchmesser des gegebenen Kreises, auf dem die Strecke
AB liegt.
• |CD| ist Seitenlänge des regulären Fünfecks, |OD| ist Seitenlänge des regulären
Zehnecks.
C
s 5
s 10
s 6
D
O
B
A
Abbildung 13: Konstruktion des regulären Fünfecks
Wegen des Satzes von Pythagors ist s 2 6 + s 2 10 = s 2 5, was genau die Aussage bei Euklid
(XIII, 10) ist. Ein analytischer Beweis für die Korrektheit der obigen Konstruktion ist
einfach, da ja z. B. |BD| = |BC| = ( √ 5/2)|OA| und daher |OD| = |BD| − 1 2 |OA| =
1
2 (√ 5 − 1)|OA| = 2 sin(π/10)|)|OA| die Seitenlänge des regulären Zehnecks ist. Wegen
des Satzes von Pythagoras ist
|CD| = √ |OD| 2 + |OC| 2 =
√
1
2 (5 − √ 5)|OA| = 2 sin(π/5)|OA|,
also |CD| die Seitenlänge des regulären Fünfecks.
Nun wollen wir die Konstruktion bei Euklid angeben. Hierbei geht man aus von einem
sogenannten goldenen Dreieck, d. h. eines gleichschenkligen Dreiecks, bei dem sich
die Länge eines Schenkels zur Länge der Grundseite wie φ zu 1 verhält (wir kommen
hierauf zurück). Die Konstruktion eines goldenen Dreiecks ist einfach. Gegeben sei die
Strecke CD, die Grundseite des goldenen Dreiecks. Man konstruiere eine Strecke der
Länge φ|CD| und anschließend das zugehörige goldene Dreieck △ACD. Man bestimme
den Umkreis zu diesem Dreieck. Dies ist einfach möglich, da der Mittelpunkt dieses
Umkreises Schnittpunkt der Mittellote auf AC bzw. AD (und CD) ist 15 . Die Winkel-
15 Der Umkreisradius eines goldenen Dreiecks mit der Grundseite CD ist übrigens
R =
|CD|
2 sin(π/5) .
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